Name: testing system stability with convolution
Uploaded: 2024-09-26T13:16:56.000Z
Duration: 1 min 24 s
Channel: JoVE

يمكن التأكد من استقرار الأنظمة باستخدام الالتواء.
إذا كانت إشارة الإدخال تحتوي على ثابت يضمن أن معامل الإشارة لا يتجاوزه أبدا في أي وقت ، فإنه يعتبر محدودا.
النظام عبارة عن مخرج مقيد بالإدخال ، يعرف أيضا باسم BIBO مستقر إذا كانت أي إشارة إدخال محدودة معينة تنتج دائما مخرجا محدودا. يوضح الشكل أمثلة على الأنظمة المستقرة وغير المستقرة BIBO.
يمكن استخدام تكامل الالتفاف لتقييم استقرار BIBO عند تطبيق مدخلات زمنية مستمرة محدودة على نظام متغير زمني خطي.
يمكن تمثيل حدود إشارة الإدخال من خلال ثابت ، وتحدد الصيغ المتكاملة للالتفاف الإخراج المحدود.
إذا كان التكامل محدودا ، فإن الإخراج محدود ، مما يعني أن نظام الوقت المستمر مع استجابة نبضية قابلة للتكامل تماما هو BIBO مستقر.
تنطبق هذه العملية نفسها على أنظمة الوقت المنفصل ؛ يتم تحقيق ناتج محدود من خلال تكامل الالتواء.
يكون الإخراج محدودا إذا كان مصطلح الجمع له قيمة محدودة ، مما يشير إلى أن نظام الوقت المنفصل مستقر BIBO إذا كانت استجابته النبضية قابلة للجمع تماما.

استقرار نظام bibo المستمر والمنفصل

BIBO stability of continuous and discrete -time systems

<div style="direction: rtl;">
يعتبر استقرار النظام مفهومًا أساسيًا في معالجة الإشارات، وغالبًا ما يتم تقييمه باستخدام الالتفاف. لكي يُعتبر النظام مستقرًا بمدخلات محدودة ومخرجات محدودة (BIBO)، يجب أن تنتج أي إشارة إدخال محدودة إشارة إخراج محدودة. إشارة الإدخال المحدودة هي إشارة لا يتجاوز فيها المعامل ثابتًا معينًا في أي نقطة زمنية.

لتحديد استقرار BIBO، يتم استخدام تكامل الالتفاف عند تطبيق مدخلات محدودة بمدخلات مستمرة على نظام خطي ثابت زمنيًا (LTI). يتم تمثيل حدود إشارة الإدخال بثابت، ويساعد تكامل الالتفاف في تحديد ما إذا كان الخرج يظل محدودًا. رياضيًا، هذا يعني أنه إذا كان المتكامل لتكامل الالتفاف محدودًا، فسيكون الخرج محدودًا أيضًا. على وجه التحديد، يكون النظام المستمر في الزمن مستقرًا وفقًا لمبدأ BIBO إذا كانت استجابته للنبضة قابلة للتكامل، مما يعني أن تكامل القيمة المطلقة لاستجابة النبضة يكون محدودًا ويتم تمثيله على النحو التالي،

<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 36px;"> 
يضمن هذا الشرط أن يظل الناتج ضمن الحدود لأي إشارة إدخال محدودة، وبالتالي تأكيد استقرار النظام.

ينطبق نفس المبدأ على أنظمة الزمن المنفصل. يتم تحديد استقرار BIBO في أنظمة الزمن المنفصل من خلال جمع سلسلة الالتفاف. بالنسبة لنظام الزمن المنفصل، يكون الناتج محدودًا إذا كان حد الجمع له قيمة محدودة، مما يشير إلى أن النظام مستقر وفقًا لمبدأ BIBO إذا كانت استجابته للنبضة قابلة للجمع كما هو موضح في التعبير أدناه.

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16053/16053_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 28px;"> 
بعبارة أخرى، إذا كان مجموع القيم المطلقة لاستجابة النبضة محدودًا، فسيقوم النظام بإنتاج خرج محدود لأي مدخل محدود، مما يؤكد استقرار BIBO.

تكمن أهمية استقرار BIBO في تطبيقه على الأنظمة الواقعية، حيث يعد ضمان بقاء المخرجات ضمن الحدود المقبولة استجابةً للمدخلات المحدودة أمرًا بالغ الأهمية. يعد فهم وتطبيق مفاهيم التكاملات الالتفافية واستجابة النبضة أمرًا حيويًا لتصميم وتحليل الأنظمة المستقرة في كل من المجالات المستمرة والمنفصلة.

</div>

استقرار نظام BIBO المستمر والمنفصل

يمكن التأكد من استقرار الأنظمة باستخدام الالتواء.
إذا كانت إشارة الإدخال تحتوي على ثابت يضمن عدم تجاوز معامل الإشارة أبدا ...

bibo-stability-of-continuous-and-discrete-time-systems

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Unit 1

Linear Time- Invariant Systems

KEY TERMS AND CONCEPTS

testing system stability with convolution

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time.

For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output stays bounded too. If the integrand in the convolution integral remains finite, the output remains finite as well. A continuous-time system is BIBO stable when its impulse response is integrable, which means the integral of the absolute value of the impulse response is finite.

The same idea applies to discrete-time systems. Here, stability is checked through the convolution series rather than the convolution integral. A discrete-time system is BIBO stable if the summation is finite, which means its impulse response is summable. In other words, if the sum of the absolute values of the impulse response is finite, any bounded input will still produce a bounded output.

BIBO stability matters in real-world system design and analysis. It helps ensure that outputs stay within acceptable limits when inputs are bounded. Understanding convolution and impulse response conditions is key for studying stable continuous-time and discrete-time systems.

Testing System Stability with Convolution

testing-system-stability-with-convolution

linear time-invariant systems

Impulse Response in LTI Systems

Linear time-invariant systems are defined by linear elements and constant parameters. A system is linear when it shows homogeneity and additivity. These two ideas together are called the superposition property. Superposition is a key rule for analyzing linear systems. For a linear time-invariant system, the response to an impulse at the input can describe the whole input-output behavior. An impulse is a very short, sudden input. Once the impulse response is known, the response to other inputs...

impulse response

RC Circuit Impulse Response

RC circuit impulse response describes how the capacitor voltage changes after a brief input signal. In this system, the voltage source is the input, and the capacitor voltage is the output. The state of the circuit before and after excitation is defined separately so the response can be tracked clearly. Kirchhoff’s law is used to write the input signal equation for the RC circuit. The capacitor current and voltage provide the output relation. After substituting the current expression and...

convolution: math, graphics, and discrete signals

convolution-math-graphics-and-discrete-signals

Convolution in LTI Systems and Signal Response

Convolution describes how a linear time-invariant, or LTI, system responds to an input signal. In an LTI system, the convolution of two signals is written with a convolution operator. The method assumes that all initial conditions are zero. The convolution integral can be split into two parts. These are the zero-input response, also called the natural response, and the zero-state response, also called the forced response. The initial time is marked as t0. To make the integral easier to work...

convolution properties i

LTI System Tricks for Easier Convolution

LTI system properties can make convolution easier to work with. LTI stands for linear time-invariant. In these systems, the input signal and the impulse response can be handled in helpful ways that simplify the final output. The commutative property means the input and the impulse response can be switched without changing the result. The associative property says that when three functions are convolved, the order of grouping does not change the answer. For two LTI systems in series, this lets...

convolution properties ii

Convolution Rules for Width and Area

Convolution rules help describe how an output signal changes when two signals are combined in an LTI system. The main rules here are width, area, differentiation, and integration. These rules make convolution easier to analyze and use in signal processing. The width property says that if two input signals last for T1 and T2, the output response lasts for T1 plus T2. This is true no matter what shape the two functions have. For example, convolving two rectangular pulses with durations of 2...

deconvolution

Finding an Impulse Response from Signals

Deconvolution is a method for finding a system’s impulse response from known input and output signals. It is also called inverse filtering. This technique is useful when the system’s characteristics are not known directly and must be inferred from the signals that can be observed. One common way to do deconvolution is polynomial division. In this approach, the input and output sequences are treated as coefficients of polynomials written in descending order. Long division is then used to divide...

bibo stability of continuous and discrete -time systems

System stability in signal processing is often tested with convolution. A system is BIBO stable, or bounded-input bounded-output stable, when every bounded input signal produces a bounded output signal. A bounded input signal has a modulus that never exceeds a set constant at any time. For a continuous-time Linear Time-Invariant, or LTI, system, BIBO stability is checked with the convolution integral. The input is bounded by a constant, and the convolution integral shows whether the output...

key terms and concepts

Learn how convolution is used to test BIBO stability in continuous-time and discrete-time systems by checking impulse response integrals and sums.

Testing System Stability with Convolution | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

Testing System Stability with Convolution

Description

Transcript