Stable Equilibrium Through Potential Energy

Potential energy helps determine when a mechanical system is stable at equilibrium. When a system is acted on by gravitational and elastic forces, its total potential function is the algebraic sum of gravitational potential energy and elastic potential energy.

If the system is already in equilibr...

考虑一个无摩擦的弹簧-质量系统，其位置由一个独立变量定义。在此系统中，势能是重力势能和弹性势能之和，势能的减少量等于对系统所做的功。

如果系统处于平衡状态并经历虚位移，则所做的功可被虚功替代。

根据虚功原理，对于所有虚位移，所做的功为零，因此势能的变化也为零。对于微小的虚位移，势能可用其对位置坐标的首阶导数来表示。

由于虚位移不为零，势能的一阶导数必须为零。因此，当一个系统的势能一阶导数为零时，该系统处于平衡状态。

将此准则应用于弹簧-质量系统，可得到其平衡位置。

如果势能依赖于多个自变量，那么在平衡状态下，势能对每个坐标的偏导数都必须为零。