Types of Function Discontinuities

A continuous function has no breaks, holes, or jumps at a point. For a function to be continuous at a point a, three conditions must be met. The function must be defined at a, the limit as x approaches a must exist, and that limit must equal the function’s value.

When any of these conditions fail...

考虑一条汽车行驶的路径。如果该路径由一个函数的曲线描述，则可以通过极限的概念来理解汽车在任意时刻的位置，即当 x 值趋近于曲线上某一点时的极限。

当汽车沿曲线行驶时，平滑的运动——即路径上没有中断或跳跃——表明该函数是连续的。

如果两个点从相反方向趋近于曲线上同一点，并且平滑相接，则表明该函数在该点处连续。

当函数在某一点无定义时（例如出现除以零的情况），曲线在该点可能存在间断。当 x 趋近于 1 时，函数值趋近于 2。由于该极限存在，此间断为可去间断，可通过在该点重新定义函数使其连续。

如果某一点处的左极限和右极限不相等，则该函数在该点存在间断。

一条无限向上或向下延伸且不接触垂直线的曲线，表明存在一条垂直渐近线。