Stokes’ Theorem for Curl and Circulation

Stokes’ Theorem connects circulation around a closed curve with curl across the surface it surrounds. Circulation is the total tendency of a vector field to move along a boundary. Curl is the local turning, or rotational effect, of the field at each point on the surface.

For a smooth three-dimens...

斯托克斯定理将边界上的环流与曲面上的旋转联系起来。

考虑一个具有闭合边界曲线 C 的光滑三维曲面 S，其方向为逆时针方向。

环量是向量场 F 沿边界产生运动的趋势。旋度用于衡量向量场 F 在曲面上每一点处的局部旋转程度。将曲面上所有这些旋转效应进行积分，即可得到总的旋转效果。

斯托克斯定理指出，边界上的总环流量等于总的旋转效应。这一定理将边界上的运动与多个局部表面旋转联系起来。

电磁学中的一个关键应用是：当磁体穿过导电回路时，会沿回路产生感应电场，从而形成电流。

同时，斯托克斯定理指出，该感应电场的线积分也等于电场旋度的面积分。