基于磁流变阻尼器考虑时滞的结构随机半主动控制方法

Zhenkai Zhang; Zhiwei Bao; Wenyong Ma; Peifang Sun

doi:10.3791/68259

研究文章

基于磁流变阻尼器考虑时滞的结构随机半主动控制方法

DOI：

10.3791/68259

⸱

2025年4月4日

Zhenkai Zhang¹^,² , Zhiwei Bao¹ , Wenyong Ma¹^,³ , Peifang Sun⁴

¹School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, ²Key Laboratory of Roads and Railway Engineering Safety Control, Shijiazhuang Tiedao University, ³Innovation Center of Wind Engineering & Wind Energy Technology Hebei, Shijiazhuang Tiedao University, ⁴School of Civil Engineering, Tongji University

本文内容

摘要

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

本文提出了一种带有时滞补偿的随机最优半主动控制方法（SOSC-PSO），旨在维持由MR阻尼器控制的结构的可靠性。

摘要

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

磁流变（MR）阻尼器在半主动控制系统中的应用面临一个关键挑战：由反馈过程引起的时间延迟，这会降低土木工程结构在随机激励下的可靠性。本文提出了一种带有时滞补偿的随机最优半主动控制方法（SOSC-PSO），基于物理随机最优控制理论（PSO）来解决这一问题，以维持结构的可靠性。该方法将半主动控制力表示为当前状态和先前状态的函数，从而补偿控制过程中的时间延迟。为了优化控制效果，关键参数根据系统的可靠性准则进行调优。在随机地震激励下对单自由度和多自由度结构进行的验证分析表明，时间延迟显著削弱了MR阻尼器的控制性能。然而，采用时滞补偿的SOSC-PSO方法显著提升了控制效果，且通过参数优化，其结构控制系统的可靠性优于未进行参数优化的方法。

引言

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

在面对地震和极端风力等灾难性事件时，提升工程结构的性能仍是土木工程领域的主要关注点。结构控制是一种有效的减振技术，已被证明能够提高此类结构的安全性和功能性¹^,²^,³。在过去几十年中，为此已开发出多种先进方法和技术。根据驱动控制装置所用能量类型的差异，这些方法大致可分为四类：主动控制、半主动控制、被动控制和混合控制系统⁴^,⁵^,⁶^,⁷。

在主动控制中，所需的控制力通过控制装置直接施加，这需要消耗大量能量⁸^,⁹^,¹⁰。而半主动控制则通过控制信号调节控制装置的性能参数（如阻尼或刚度），与主动系统相比所需能量显著减少¹¹。相比之下，被动控制不依赖外部能量输入，而是依靠系统内部的能量耗散机制¹²^,¹³^,¹⁴。混合系统结合了主动/半主动控制与被动控制策略的特点，以实现更优的控制效果¹⁵。在这些方法中，半主动控制因其在低能耗与高效率之间的良好平衡而被认为具有特别广阔的应用前景¹⁶^,¹⁷^,¹⁸。磁流变（MR）阻尼器因其优异的动态阻尼特性，被视为最有效的半主动控制装置之一¹⁹^,²⁰^,²¹^,²²。

然而，在采用磁流变阻尼器（MR dampers）的半主动控制系统中存在一个挑战，即反馈逻辑不可避免地会引入时间延迟。这些延迟通常由以下几个因素引起²³^,²⁴^,²⁵：（i）传感器数据的采集与处理，（ii）控制器计算所需控制力的过程²⁶，（iii）信号通过传感器传输至磁流变阻尼器的过程²⁷，以及（iv）磁流变阻尼器自身实际产生控制力的过程²⁸。此类时间延迟可能导致所产生的控制力与结构预期的控制力之间出现偏差，从而显著降低控制效果²⁹。遗憾的是，目前大多数针对磁流变阻尼器的控制算法均未考虑这些延迟因素。

此外，由于灾难性事件具有内在的随机性，任何有效的半主动控制算法都必须能够在随机激励下保持性能。线性二次高斯（LQG）控制方法作为一种经典的随机优化技术，已被探索用于减轻配备磁流变（MR）阻尼器的结构振动。例如，Dyke 等人提出了一种基于 LQG 的限幅最优控制策略，通过加速度反馈来改善装有 MR 阻尼器结构的地震响应³⁰。Ying 等人则针对带有 MR 阻尼器的非线性结构，提出了一种未限幅的半主动随机最优控制策略，并结合了随机平均法和动态规划技术³¹。其他研究还将基于模态的 LQG 控制应用于提升隔震建筑的抗震性能¹⁹，并分析了其在风力涡轮机塔架减振中的有效性³²。然而，经典 LQG 方法假设激励为白噪声高斯过程，难以准确描述地震或强风等实际激励所具有的非平稳、非高斯特性。为解决这一问题，研究者提出了基于物理机制的随机最优（PSO）控制概念³³^,³⁴，该方法克服了传统 LQG 方法的局限性，为应对多种随机激励提供了更精确的理论框架³⁵。研究表明，基于 PSO 的半主动随机最优控制在应对随机地震作用时，能显著提升线性和非线性结构的振动控制效果³⁶。

因此，迫切需要一种能够补偿时间延迟的鲁棒性半主动控制方法，以提高磁流变阻尼器控制结构的可靠性²⁵^,³⁷。此外，为了在随机激励下确保最优控制性能，必须采用基于可靠性的方法对所提出控制方法的关键参数进行优化。为此，本文提出了一种带时间延迟补偿的随机最优半主动控制方法（SOSC-PSO），以提升含磁流变阻尼器结构的可靠性。

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方案

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

1. 随机最优半主动控制方法

由于磁流变阻尼器的控制效果受不可避免的时间延迟显著影响，本文提出了一种带有时间延迟补偿算法的半主动控制方法，以提高受控结构的性能。此外，外部激励 inherent 的随机性导致动力响应存在明显不确定性。引入粒子群优化（PSO）控制方法，对所提方法的关键参数进行优化，以确保结构控制系统的可靠性。

1.1 半主动控制的补偿算法

不失一般性，考虑一个由磁流变阻尼器控制且具有时间延迟的 n 自由度（n-DOF）结构，其在随机激励作用下的运动方程为：

动力学系统方程 ΣF=0；包含质量、阻尼、刚度；用于系统动力学分析。（1）

其中，机械系统变量的质量、阻尼、刚度符号 M、C、K；文本图像；教育关键词。分别表示结构的 n × n 质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；n 表示受控结构的自由度数量。结构的位移、速度和加速度向量分别由位置、速度、加速度函数的数学表达式；方程概念示意图。表示。符号上方的一个点和两个点分别代表对时间的一阶和二阶导数。U_s(t - t_D) 表示磁流变阻尼器延迟控制力的 r 维向量，r 表示阻尼器的数量；t 表示时间；t_D 表示时间延迟，在本研究中假设所有阻尼器的时间延迟一致，其中 tD=lT；扩散时间方程；公式表示，此处整数静态平衡符号 "l ≥ 1" 数学分析方程图。，静态平衡方程 ΣFx=0 图示，说明物理学中的力平衡与作用力，用于教育研究。表示采样周期。动态系统分析中的公式 F(Θ,t)；物理与工程方程中的关键符号。表示 p 维随机激励向量，静态平衡中的圆形莫尔图案。图示说明物理学中的干涉效应。表示描述外部激励随机特性的随机参数向量。的维度取决于所采用的外部激励模型，但与结构的机械自由度无关。B_s 和 D 分别为 n × r 和 n × p 矩阵，用于指定阻尼器和外部激励的作用位置。在状态空间表示中，方程（1）可写为：

离散时间控制系统方程，Z(t)=AcZ(t)+BcUs(t−tD)+DcF(Θ,t)，公式。（2）

其中， Z(t) 方程在时变分析中，用于说明数学建模中的动态行为。表示 2n 维状态向量；色谱分析装置，方程 Ac=εcl，示意图，用于蛋白质分离与分析。表示 2n × 2n 系统矩阵；磁场方程，Bc，静态平衡分析的公式示意图。表示 2n × r 的磁流变阻尼器位置矩阵；静态平衡方程，ΣFx=0，物理学关键公式，教育研究示意图。表示 2n × p 的外部激励位置矩阵。这些参数表达如下：

动态系统状态方程 Z，显示位置和速度的向量 X(t)。，矩阵方程图示，结构动力学分析，Ac=[0 I; -M^-1K -M^-1C]，机械系统。，矩阵方程，Bc=[0; M⁻¹Bs]，与线性代数分析相关的数学公式。，矩阵变换方程，以符号形式表示的数学表达式。（3）

其中色谱光谱结果；光吸收，颜色梯度；光谱分析方法。表示与静力平衡 ΣFx=0 示意图，显示力的平衡，物理学研究，矢量分析。同阶的单位矩阵。为便于计算，连续状态空间方程（2）可表示为离散形式：

控制系统方程图：Z(k+1)=AaZ(k)+BaUs(k-l)+DaF(Θ,k) 动力学分析。（4）

当时间点热力学，方程 kT，符号。被简化为使用滑轮系统、力矢量和张力分析的静力平衡图，ΣFx=0，ΣFy=0。。且绝热过程公式，静力平衡，热力学分析方程。、静力平衡公式，ΣFx=0；矢量分析图；物理学研究；平衡条件。、无量纲化方程，D_d 符号，数学概念，教学公式。分别表示 2n × 2n、2n × r 和 2n × p 矩阵，其表达式如下：

离散时间状态空间方程，变换公式，矩阵指数计算。，微分方程，Bd=∫[0, T]e^(Aη)dηBc，公式，数学分析。，物理学中扩散过程的数学积分公式；分析扩散系数。（5）

其中热力学过程，T-S 图，熵与温度，平衡分析，蒸汽循环表示采样周期。

为了达到与主动控制相当的控制效果，本文提出了一种基于Hrovat算法38的简单高效的控制方法，用于带有时滞的磁流变阻尼器控制：

用于研究图示中静态平衡分析的数学方程。（6）

其中，静力平衡图，ΣFx=0，力矢量，力臂，力矩平衡方程表示磁流变（MR）阻尼器在时间点 \ 使用滑轮系统的静力平衡图，包含 ΣFx=0、ΣFy=0，力矢量及张力分析的半主动控制力信号； $数学符号 U_{a,k}，学术图示中的静力平衡方程$ 表示带有时间延迟补偿的参考主动控制力；动态控制公式，Ud,max = cD|Yk+1| + Udc,max，用于过程优化的方程表示 MR 阻尼器的最大阻尼力，该值可变；静力平衡图，包含 ΣFx=0、ΣFy=0 方程；展示力学研究中的力平衡表示绝对值运算符号；静力平衡公式，Udc,max，Udc,min，数学表达式分别表示 MR 阻尼器的最大和最小库仑力；空气动力学概念；阻力系数方程，c 下标 D，进行分析；流体动力学研究表示黏性阻尼系数；流变学符号 γ̇ 在流体流动图中的表示表示 MR 阻尼器的输入速度，即活塞相对于阻尼器缸体的运动速度。在公式（6）中，数学符号中的直流电压符号；Udc,max，Udc,min，cD 表示 MR 阻尼器的设计参数。

公式（6）展示了考虑时间延迟时磁流变阻尼器半主动控制力的计算方法。可以看出，公式（4）中在时间步静力平衡公式 ΣFx=0 示意图；用于说明物理概念和方程中的平衡关系。的半主动控制力静力平衡方程图示：力平衡分析中的 Us(k) 符号。，是基于时间步的主动控制力数学或物理背景下方程符号 U_a(k)。以及时间步 k+l 时间步的静力平衡方程；数学公式，用于教学目的。的状态变量物理方程中表示函数变换的数学公式 Z(k+l)。计算得到的，这是因为存在静力平衡，ΣFx=0；带有力矢量的示意图；教学用物理概念。个时间步的延迟。为了获得主动控制力数学或物理背景下方程符号 U_a(k)。，通常通过以下方式建立代价函数：

用于动态系统性能分析的最优控制理论方程 J(θ) 积分。（7）

其中，显示 ΣFx=0 的静态平衡。受力平衡示意图，用于说明力学原理。表示系统状态的 2n × 2n 阶对称半正定加权矩阵；四甲基芴的化学结构，标有原子；分子几何结构示意图。表示控制力的 r × r 阶对称正定加权矩阵。由此可见，外部激励可忽略不计。实际上，根据公式 (7)，无论外部激励类型如何，结构控制系统均可实现最优控制效果。以离散形式表示时，公式 (7) 可写为³⁹：

最优控制代价函数公式，Σk=0∞，积分，Z(t)，U(t)，应用数学。（8）

使成本函数光谱学实验装置，包括光学平台、用于吸收研究的分束器、光谱拟合分析。最小化会转化为一个条件极值问题，主动控制力 $本征函数表示法 $ U_q(k) $；数学、量子力学和方程中的概念。$ 可通过以下公式计算²⁵：

数字控制理论方程，用于工程研究中系统响应分析的 Ua(k) 公式。（9）

其中，数学符号序列公式，以线性序列形式显示变量 G1 到 GL+1。表示状态变量 Z 变换，数学公式，Z(k)，用于数字信号处理分析。在时间步静力平衡公式 ΣFx=0 示意图；说明物理学中的平衡概念和方程。的控制增益，以及主动控制力静力平衡方程 ΣF=0 示意图；关键物理概念；具有教育和研究意义。在时间步数学序列，公式：k-l, k-l+1, ..., k-1；序列分析方法。的控制增益，这些增益由权重矩阵静力平衡；ΣFx=0；机械系统示意图；力的平衡；工程研究。和色谱装置，蛋白质纯化过程，显示分离技术组件的示意图。 ³⁷ 确定。由于不可避免的时间延迟，所获得的控制力离散微积分公式，U_s(k-l) 到 U_s(k-1)，用于时间序列分析和模式预测。将在时间点数学递推公式：k, k+1, ..., k+l−1。施加到结构上。因此，式（9）中的主动控制力由下式计算：

时间序列预测公式、控制系统方程、预测分析方法。（10）

为了概念清晰，基于公式（6），公式（10）中的半主动控制力可表示如下：

数学方程、方程组、动态行为分析、符号表示。（11）

其中 Mathematical symbol Ua,i, representing an indexed element. 表示在时间点 Static equilibrium, ΣFy=0 diagram; forces, torque; illustrating balance, mechanical system analysis. 的主动控制力。将公式（11）代入公式（10）中，

静力平衡分析公式：Ua(k)，迭代过程示意图。（12）

注意：需要从时间点 $量子力学中的不确定性原理符号 $Z$，用于图表或方程中。$ 到 $组合数学公式：$ k + l - 1 $。$ 之间的所有状态 $量子力学中的不确定性原理符号 $Z$，用于图表或方程中。$ 值，以计算数学分析或物理语境中的方程符号 U_a(k)。。因此，引入以下状态预测方法⁴⁰。

离散时间状态空间方程；公式；控制系统；动态分析。（13）

其中静力平衡方程；ΣFx=0；矢量图；力平衡；机械工程。表示预测变量。通过迭代公式（13），可计算出在数学序列 k+1 到 k+l-1 的公式，用于代数研究中的范围表示。时刻的状态 $不确定性原理符号 $Z$；在图示或方程中与量子力学相关。$ 。主动控制力 U_a(k) 表达为：

动态系统方程、信号处理公式、理论分析图示。（14）

通过结合公式（6）、（12）和（13）可获得半主动控制力。

1.2 结构控制系统的可靠性分析

根据概率守恒原理，带有磁流变阻尼器的结构的增广系统物理学中的 Z(t) 公式，科学研究中用于时变分析的方程。和数学公式：U_S(t-t_D), Θ；适用于高等微积分或信号分析研究。满足概率守恒，其行为由以下广义概率密度演化方程（GDEEs）所支配³⁸：

流体动力学的偏微分方程，突出显示研究中的时间与空间变化。（15）

动态流体方程，偏微分方程，数学分析，稳定性研究。（16）

其中， $不确定性原理符号 $Z$；在图表或方程中与量子力学相关。$ 、静力平衡图示，ΣFx=0，力矢量，力臂，力矩平衡方程分别表示具有时间延迟的系统状态和半主动控制力的相应分量；与概率建模概念相关的概率函数 pzθ(z,θ,t) 方程。和含变量的概率密度函数公式；用于统计分析的方程。分别表示增广样本系统动态系统分析，Z(t) 公式，图示，用于教学。和静力平衡，公式 (U_s(t-t_D), θ)，展示动态变量和参数。的联合概率密度函数；静力平衡图示，ΣFx=0，力矩平衡，力矢量，物理教学概念表示在样本空间中的样本； $模态分析方程 $ \dot{Z}(\theta, t) $，动态响应研究，数学公式。$ 和 $显示动态响应函数 $ \dot{U}_s(\theta, t - t_D) $ 的方程。$ ) 分别表示系统状态和半主动控制力分量的一阶时间偏导数。联合概率密度函数数学分析中的概率密度函数方程，pzθ(z,θ,t)。和含变量的概率密度函数公式；用于统计分析的方程。可通过求解方程（15）和（16）并结合以下初始条件获得：

静态平衡的概率密度方程；理论物理学中的符号表示。（17）

概率密度函数方程，时间 t_D 时的 PDF；δ 函数；符号数学概念。（18）

其中 Dirac delta函数公式，数学符号，用于信号处理和量子力学。表示Dirac delta函数；静力平衡；方程 ΣFx=0；示意图；教学用途；物理概念分析。和静力平衡 ΣFx=0 示意图；表示物理实验装置中的力矢量。分别表示 Z变换公式 Z(t)，信号处理分析中的数学方程。和 $信号处理方程 $ U_s(t-t_D) $，图中表示时间延迟概念。$ 的确定性初始值；概率密度函数公式 pθ(θ)；统计分析中的数学符号。表示样本静力平衡方程示意图 ΣFx=0 MA=0 力学分析的概率密度函数。

通过对样本空间域上的概率函数 pzθ(z,θ,t) 的方程，与概率建模概念相关。和含变量的概率密度函数公式；用于统计分析的方程。进行一维积分，可得到信号处理分析中的Z变换公式 Z(t)，数学方程。与 $信号处理方程 $ U_s(t-t_D) $，表示图示中的时间延迟概念。$ 的瞬时概率密度函数：

统计力学方程；数学物理中的积分表示示意图。（19）

时间分析中概率分布的示意图。（20）

其中 $自然频率 $ \Omega_0 $ 符号，动态系统概念，公式表示。$ 表示静态平衡下的圆形莫尔图案。图示物理学中的干涉效应。的分布域。

根据公式（19）和（20），可以看出，如果所关注物理量与算法参数之间的关系被明确定义，则这些物理量的完整概率信息可直接导出。所关注物理量的可靠性可通过以下相关的性能函数进行计算：

统计分析中的概率方程；随机变量概率计算公式。（21）

统计概率方程；显示可靠性计算；数学表达式。（22）

其中 $旋转矩阵符号 $ R_z $，在坐标变换和空间分析中具有重要意义。$ 和静力平衡；方程 ΣFx=0；物理图示；受力平衡分析；平衡状态研究。分别表示所关注的状态量和半主动控制力的计算可靠性；优化的数学公式；max 函数；符号图示；统计分析。表示受控结构第 i 个所关注物理量的等效极值向量；时间动态分析中的最大值函数方程，用 U、max 和 theta 符号表示。表示第 j 个控制力的等效极值向量；符号上的帽号‘-’表示等效极值向量⁴¹；矩阵分析中的 Zik 公式，数学方程，用于研究洞察的符号表示。表示受控结构第 k 个自由度（DOF）的第 i 个所关注物理量；静力平衡公式 ΣFx=0 符号；物理分析图示中的方程。表示第 j 个控制力；数学符号中的指标范围方程：i=1 到 n₁。、数学序列公式 k=1,2,...n2，用于序列分析的方程。、求和中的指标范围方程，j=1,2,...n₃，用于数学级数分析。、静力平衡 ΣFx=0 图示，包含力矢量和角度，用于物理分析、色谱系统，平面流动，相图，蛋白质分离过程，科学实验和静力平衡，ΣFx=0，MA=0，图示，显示平衡条件下的受力分析。分别表示所关注物理量的数量、结构的自由度（DOF）以及安装在结构中的磁流变（MR）阻尼器的数量。电气工程分析公式中的阻抗符号 Z_i,thd。和方程：U̅j,thd，表示电气工程分析中的总谐波畸变率。分别表示静力平衡，ΣFx=0，ΣFy=0，图示，平衡条件，力的平衡，教育物理。和 ΣU_j：物理图示中的静力平衡方程符号的阈值；概率函数 Pr(x) 符号，数学概念，方程，概率论。表示随机事件的概率。

1.3 参数优化

反馈控制模式下的控制效果在很大程度上受到显示 ΣFx=0 的静力平衡。受力平衡示意图，用于说明力学原理。与四甲基芴的化学结构，标注原子；分子几何结构示意图。振幅比的影响³⁸。因此，为了实现最佳的控制效果，需要对和进行优化。此外，作为一种基于磁流变阻尼器的控制方法，其控制效果还受到式（6）中装置参数数学符号中的直流电压；Udc,max, Udc,min, cD。的影响。为实现结构控制系统的最优可靠性，本文在式（25）中提出了基于可靠性的判据。

随机激励法用于控制系统优化的流程图；包含动态分析、概率密度函数。
图 1：带时滞补偿的随机最优半主动结构控制参数优化流程图。缩写：GDEE = 事件广义微分方程；PDF = 概率密度函数。请点击此处查看此图的放大版本。

综上所述，基于磁流变阻尼器并结合时滞补偿的随机最优半主动结构控制需要两个步骤来完成：

1.3.1 最小化式（7）中所示的成本函数成本函数 J(θ)，方程，优化分析。，从而实现基于样本意义的状态反馈逻辑，即式（12）

1.3.2 最小化基于可靠性的性能函数静力平衡图；ΣFx=0；力矢量；力学分析；教育用物理概念。，从而获得统计意义上的最优参数。图1展示了第1.3.2步中控制器参数的优化流程图。

步骤 1.3.2 中包含两层循环的后续步骤如下：

1.3.2.1 对具有随机参数向量衍射图样示意图，包含公式和圆形孔径，用于说明波的干涉。的概率赋值随机激励空间进行划分，可识别出一组代表性点公式：σ_res，包含参数 θ_q，用于统计优化分析。及其对应的赋值概率 P_q。该方法能够高效地生成随机激励的样本过程，记为显示 theta 和时间的函数，统计模型参数，数学符号。，并可方便地获得。

1.3.2.2 对于半主动结构控制系统参数的优化，初始化或更新代价函数权重显示 ΣFx=0 的静力平衡。受力平衡示意图，说明力学原理。和四甲基芴的化学结构，标注原子；分子几何结构示意图。的数值。随后计算带有时间延迟的相关状态反馈控制力，见公式（12）。

1.3.2.3 通过求解式（17）–（20）所示的广义密度演化方程（GDEE），获得结构响应与控制力的概率密度函数（PDF）：

优化过程为离线完成，而非在线完成。在将所提出的方法应用于实际结构控制系统时，最优的显示 ΣFx=0 的静力平衡。受力平衡示意图，说明力学原理。和四甲基芴的化学结构，标注原子；分子几何结构示意图。已经获得，因此在实际应用过程中无需再进行优化。

通过对半主动结构控制系统施加样本激励进行确定性动力学分析，计算所关注的物理量方程展示与时间相关的动力学变量 Z(θ_q, t), U_s(θ_q, t-t_D)。及其导数 $动力学响应分析中的符号：$ \dot{Z}(\theta_q, t) $, $ \dot{U}_s(\theta_q, t-t_D) $$ 。

通过采用有限差分法，例如具有全变差减小（TVD）特性的修正Lax-Wendroff格式，可以求解广义微分方程（GDEEs），并推导出联合概率密度函数概率过程方程，公式分析；数学符号，数据相关性，示意图。的数值解。

重复上述确定性动力学分析和有限差分法的两个步骤，并遍历所有代表性点静力平衡方程，ΣFx=0，ΣFy=0，方法，代数求解，工程示意图。，可通过求和得到概率密度函数：

PZ(z, t) 方程；符号 Σ；用于瞬态吸收分析，光学研究示意图。（23）

稳态分布方程，ΣP_usΘ, t-t_D，概率分析，数学公式。（24）

其中静力平衡公式，ΣFx=0，带有张力矢量的示意图，物理学教育概念。表示与样本点 θ 下标 q，表示数学或物理方程中的一个角度。相关联的子区域的面积测度。求解事件广义微分方程（GDEE）所采用的方法称为概率密度演化方法（PDEM）⁴²。

1.3.2.4 相关物理量的概率密度函数用于评估其可靠性，随后将其纳入概率准则的性能函数静力平衡图；ΣFx=0；力矢量；力学分析；教育物理概念。中。

1.3.2.5 判断参数优化过程的终止条件是否已满足。若条件未满足，则返回步骤 1.3.2.2；若已满足，则可确定时滞控制系统的最优参数。本研究中采用 MATLAB 中的遗传算法（GA）工具箱进行参数优化，该工具箱有助于参数更新并定义终止条件。通过遗传算法，可在十次迭代内获得最优值，且收敛稳定，无局部极小值问题。尽管遗传算法的计算成本高于粒子群优化或基于梯度的方法，但其在处理复杂且不可微的问题（如本文所述问题）方面表现优异。因此，本研究采用遗传算法。并且由于其快速收敛的特性，遗传算法的计算成本在可接受范围内。

1.3.2.6 为实现最优的可靠性控制，建立如下性能函数静力平衡图；ΣFx=0；力矢量；力学分析；物理教学概念。。最小化，以确定参数量子观测者效应概念，以数学符号和光波图示表示，用于物理学研究。和色谱装置，DNA分离方法，示意图，蛋白质纯化过程，光谱分析。的最优值：

稳定性分析中计算临界载荷 Lc 的公式，包含 max 和 union 符号。 } (25)

控制系统分析的优化方程；以数学变量表示的argmin条件。（26）

如前所述，控制器的加权矩阵是对称的，其中矩阵量子观测效应概念，以数学符号和光波图示说明，用于物理学研究中的元素对应于位移、速度及其相互作用的权重，而矩阵色谱装置，DNA分离方法，示意图，蛋白质纯化过程，光谱分析中的元素则表示与控制力相关的权重。根据早期研究³⁸的发现，改变代价函数权重量子观测效应概念，以数学符号和光波图示说明，用于物理学研究和的配置对控制效果影响甚微。因此，本研究采用如下简化的配置：

静力平衡方程 Q=q·[K 0; 0 M]，矩阵表示，物理概念。，静力平衡方程 R=γ·I；数学公式；物理问题求解场景。（27）

其中，量子粒子衍射公式；q=ki-kf；矢量图；波干涉分析。表示待定义的状态权重矩阵的系数；色谱装置，化学分离，蛋白质纯化，示意图，科学分析。表示待定义的控制权重矩阵的系数；光谱色散图像；显示光子学研究中光学装置的发射。表示单位矩阵。控制效果受量子粒子衍射公式；q=ki-kf；矢量图；波干涉分析。与色谱装置，化学分离，蛋白质纯化，示意图，科学分析。之比的影响，而不受其具体数值的影响。此外，式（6）中的 $静态平衡概念，方程 $U_{dc,min}$，数学，符号分析。$ 表示磁流变阻尼器的最小库仑力，这意味着当阻尼器中的输入电流为零时，电学公式，Udc,min=0，表示最小直流电压条件。。于是，式（26）可进一步表示为：T

显示 argmin 优化概念的公式；变量包括 r、Udc,max、cD。（28）

其中流体动力学公式中的化学符号和变量，与速度和浓度相关。为所关注的最优系数。为了使其在工程上具有合理性，这些系数的最优范围基于MR阻尼器生产厂家的生产能力确定。

显然，通过公式（28）获得的最优参数保持了所提出的具有时滞的半主动控制算法的最优控制效果，从而使结构控制系统在随机激励作用下实现均衡的最优可靠性。

2. 案例研究

为了分析所提出的具有时滞补偿的磁流变阻尼器半主动控制方法的有效性，将一个连接有磁流变阻尼器的单层平面剪切框架结构置于水平随机地震动作用下进行研究，如图2所示。半主动控制结构系统的参数如下：结构质量质量计算公式，m=1×10^5 kg，展示科学记数法。，固有圆频率角频率方程，符号 ω₀=11.22 rad/s，与旋转动力学分析相关。，阻尼比阻尼比公式 ξ=0.05，用于振动分析和稳定性图示。。根据以往经验及市场上现有阻尼器的规格，结构位移、速度、加速度和控制力的阈值分别为10 mm、100 mm/s、1,500 mm/s² 和 150 kN。为表征随机地震动，采用了基于物理机制的随机地震动模型⁴³：

动力学方程、公式、积分表示、数学模型、变量依赖关系。（29）

其中，动力系统方程，科学语境中的符号“ẍg(Θ,t)” 表示工程场地地表在时域中的地面运动，而动力学方程，二阶导数表示法，角频率，基于θ的数学表达式表示基岩处频域中的地面运动。 Θ方程，参数：ω̅₀, ζ, b；用于理论分析的数学符号这一矢量表征了工程场地地表地面运动的随机特性。参数阻尼比概念，ω0, ζ 符号，描述振荡系统动力学的方程是描述场地土体特性的随机变量，包括卓越频率随时间变化的角频率，振荡运动方程，包含符号ω̅₀ 和等效阻尼静力平衡方程图示，包含希腊字母zeta (ζ) 。显示统计集合表示法的方程；theta sub b 等于集合花括号 theta sub b comma i sub j 从1到s sub b 这一矢量表示基岩处地面运动的随机特性，其受震源特性及传播路径的影响，其中静力平衡；ΣFx=0 方程；物理分析图示；力学受力研究表示此阶段所涉及的随机变量数量。静力平衡，ΣFx=0，图示，光谱实验装置，光学激发，瞬态吸收光谱表示圆频率，i 为虚数单位。

工程场地的主导频率静态平衡研究中的方程 ω̅₀；与转动动力学相关；研究分析和等效阻尼比静态平衡方程图示，包含希腊字母 zeta (ζ)。是表征场地土体动力特性的关键参数。这些量的概率分布和统计参数可根据从特定类别的工程场地收集的地震加速度记录确定。为说明起见，考虑了一类剪切波速度范围为 [150, 250] m/s 的场地，且地震动的设计特征周期设定为 0.45 s。

关键参数静态平衡研究中的方程 ω̅₀；与转动动力学相关；研究分析和静态平衡方程图，包含希腊字母 zeta (ζ) 被视为相互独立的随机变量，二者均服从对数正态分布，用于参数识别。统计参数如下：和的均值分别为 12 rad/s 和 0.1；静态平衡研究中的方程 ω̅₀；与转动动力学相关；研究分析与静态平衡方程图，包含希腊字母 zeta (ζ) 的变异系数分别为 0.42 和 0.35。基岩处的地震动被建模为具有 0.20 m/s² 傅里叶幅值的高斯白噪声过程，对应峰值地面加速度为 0.11 g。用于生成基岩运动的相位角表示为静态平衡；ΣFx=0；示意图；说明力的平衡；机械系统分析。因此，S_b =1 且静态平衡方程图 Θ₀=Θ₀,₁；研究中的力学平衡概念。该方法可被视为对给定超越概率的条件性随机地震动进行建模⁴⁴。在地震动建模中，对数正态分布的假设被广泛采用，因其能够有效捕捉观测到的地震动参数所具有的偏态特性。

为了评估该假设的敏感性，其他研究已采用包括正态分布和伽马分布在内的一些替代性概率分布进行了额外的分析⁴⁵^,⁴⁶。研究结果表明，尽管总体趋势保持一致，但对数正态分布对观测数据的拟合效果最佳，尤其在捕捉地面运动强度参数的尾部行为方面表现最优

根据切线球法⁴⁷，选取了包含221个代表性点及其对应概率的集合，并合成了代表性地面加速度。采样频率为50 Hz，地面运动持续时间为20.48 s。为了赋予模拟地面运动非平稳强度，采用了一个均匀调制函数，其表达式如下⁴²：

分段函数 f(t) 示意图，显示时间分析中三个时间区间内的条件。（30）

其中静力平衡示意图；显示方程 ΣFx=0, MA=0；力标记为 ta, tb。分别耗时 2 和 16 秒。

随机地震动的均值和标准差，以及代表性地震动时程如图3所示。均值的幅值（0.06 m/s²）约为标准差幅值（0.8 m/s²）的8%，表明基于物理机制的随机地震动模型具有零均值特性。同时，地震动在时域和频域均表现出显著的非平稳特性。

带有磁流变阻尼器、质量 m、弹簧常数 k、c 和动力激励的静力平衡示意图
图 2： 带磁流变阻尼器的单层剪切框架示意图。 包含变量 m、c、k 的动力系统方程，以科学图示形式呈现表示结构质量、阻尼比和刚度； $动力学分析公式 $ \ddot{x}_g (\Theta, t) $，含力学中的时变变量$ 表示随机地震激励。请点击此处查看该图的放大版本。

随时间变化的均值、标准差和加速度数据分析；图表描述动态响应。
图3：所选地震地面运动的统计特征及代表性样本。（A）随机性地震地面运动的均值与标准差；（B）代表性地震地面运动的时间历程。请点击此处查看该图的放大版本。

2.1 时滞影响分析

为了分析时滞对磁流变阻尼器半主动控制效果的影响，图4展示了受控结构的位移、速度和加速度均方根（RMS，均方根响应）。权重矩阵比和阻尼器参数为 r=10^-2.5, 数学表达式, 指数表示法, 教学用途， $阻尼系数方程，$c_D = 1.440 \text{ kN} \cdot \text{s/mm}$；力学分析$ ，以及最大动态载荷容量方程，Udc,max = 116.2 kN，结构分析中使用，这些是无时滞情况下的优化结果³⁸。存在时滞时，受控结构的响应大于无时滞情况，且时滞对控制效果的影响随时间延迟的增加呈现周期性变化。由于采用磁流变阻尼器的半主动控制方法属于一种反馈控制方法，该影响的周期性被认为与受控结构的自振周期（T = 0.56 s）相关。

与未受控结构相比，其最大MRS位移、速度和加速度分别为24.6 mm、270.0 mm/s和3111.3 mm/s²，磁流变阻尼器控制结构取得了显著效果。与存在时间延迟时主动控制结构出现的不稳定现象²⁵不同，基于磁流变阻尼器的半主动控制方法即使在存在时间延迟的情况下仍能取得一定控制效果。

Dynamic analysis graphs: displacement, velocity, acceleration versus time delay; mechanical oscillation.
图4：受控结构的最大均方根'随时间变化的反应。 (A位移；（B速度；（C加速度请点击此处查看此图的放大版本。

为分析时间延迟对半主动控制结构可靠性的影响，图5展示了位移、速度和加速度的可靠性随时间延迟增加的变化情况。任何时间延迟下受控结构响应的可靠性均低于无时间延迟时的值，这表明时间延迟降低了受控结构的可靠性。同时，与最大均方根值类似，可靠性控制效果随时间延迟的增加呈现出周期性变化。此外，无论是否存在时间延迟，受控结构的可靠性均高于未控制结构的可靠性，未控制结构的位移、速度和加速度可靠性分别为0.0954、0.1058和0.1111。

Reliability vs. Time Delay graph showing displacement, velocity, and acceleration analysis.
图5：反应结果' 具有时滞增加的受控结构的可靠性。 请点击此处以查看此图的放大版本。

综上所述，结构的响应通过半主动控制方法得到了缓解。然而，无论从均方根值还是可靠性来看，半主动控制方法的控制效果均因时间延迟而降低。因此，有必要对时间延迟进行补偿。

2.1.1 时间延迟补偿方法的分析

为分析所提出的时间延迟补偿方法的有效性，图6对比了无控制（Unc）、未补偿控制的时间延迟系统（TDN-SAC-PSO）和采用补偿控制的时间延迟系统（TDC-SAC-PSO）的位移、速度和加速度的均方根（RMS）时程曲线，其中时间延迟为0.1 s。加权矩阵参数和半主动控制方法与步骤2.1中的设置相同。

TDC-SAC-PSO 分析随时间变化的位移、速度、加速度、力图。
图 6：不同控制方法下结构的均方根时程对比。 （A）位移；（B）速度；（C）加速度；（D）控制力。缩写：Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；TDN-SAC-PSO = 无补偿控制的时滞系统。请点击此处查看此图的放大版本。

与无控制结构相比，两种控制方法均显著降低了结构的响应，显示出基于磁流变阻尼器的控制方法的优势。与无控制结构相比，采用TDN-SAC-PSO方法时，位移、速度和加速度的最大均方根（RMS）分别降低了75.79%、73.75%和61.22%。进一步地，在引入时间延迟补偿后，采用TDC-SAC-PSO方法时，受控结构的响应分别降低了82.59%、80.40%和73.04%。尽管TDC-SAC-PSO方法的振动响应小于TDN-SAC-PSO方法，但其控制力的最大均方根值相比后者还降低了8.43%。上述分析表明，补偿方法有效减小了时间延迟对基于磁流变阻尼器的控制方法的影响，证明了在磁流变阻尼器半主动控制方法中进行时间延迟补偿的必要性。

使用TDC-SAC-PSO方法的位移、速度和加速度概率密度图。
图7：结构响应在典型时刻的概率密度函数（PDF）对比。（A）位移；（B）速度；（C）加速度。缩写：PDF = 概率密度函数；Unc = 未控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；TDN-SAC-PSO = 带无补偿控制的时滞系统。请点击此处查看该图的放大版本。

为全面揭示所提出的补偿方法对受控结构响应不确定度的影响，图7展示了在典型时刻（3、7和11秒）位移、速度和加速度的概率密度函数（PDF）对比结果。TDN-SAC-PSO方法的PDF比无控制结构更窄，表明即使存在时间延迟，半主动控制方法仍能降低结构响应的不确定度。当对时间延迟进行补偿后，响应的PDF进一步变窄。因此，所提出的补偿方法对于提升半主动控制效果是必要的。

控制方法	位移	速度	加速度	控制力	最小值
Unc	0.0954	0.1058	0.1111	--	0.1111
TDC-SAC-PSO	0.9565	0.8107	0.7654	0.9845	0.7654
TDN-SAC-PSO	0.7747	0.531	0.2054	0.884	0.2054

表1：不同控制方法下结构的振动响应及控制力可靠性。 缩写：Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；TDN-SAC-PSO = 无补偿控制的时滞系统。

无控制、TDC-SAC-PSO 和 TDN-SAC-PSO 方法控制下的结构振动响应及控制力可靠性如表1所示。采用 TDN-SAC-PSO 方法控制后，结构的可靠性相比无控制结构显著提高，即使在考虑时间因素的情况下，仍验证了基于磁流变阻尼器控制方法的有效性。然而，在引入时间延迟补偿后，可靠性较无补偿情况进一步显著提升，尤其是加速度响应方面。值得注意的是，TDC-SAC-PSO 方法下不同响应及控制力的可靠性表现出明显差异，这表明在无时间延迟条件下控制的最优关键参数，在存在时间延迟时并非最优。为了在时间延迟影响下实现振动响应与控制力的最佳控制效果，需对参数进行进一步优化。基于上述分析可得出结论：采用磁流变阻尼器的半主动控制方法能有效降低结构的振动响应，但由于时间延迟的影响，相关参数仍需进行优化。

2.2 参数优化

为获得参数的最优取值，采用了基于可靠性准则的综合优化方法³⁸。关键参数的优化在以下条件下进行：量值方程，q=1，数学符号，教育概念， r 取值范围 [10^-20, 10^-1]；数学方程；科学数据分析， $系数范围表达式 $c_D \in [0.2,2]$ kN·s/mm；结构动力学，公式$ ， $静力平衡方程，$U_{dc,max} \in [50,150]$ kN，力范围分析公式$ ，以及磁流变阻尼器力的可调次数 s = 8。优化过程使用 MATLAB 中的遗传算法（GA）工具箱实现。

参数的优化结果为表示科学数据分析、R平方计算、统计结果优化的方程。、静力平衡；阻尼系数方程 cD=0.702 kN·s/mm；方法；教育用途和最大解耦力方程：Udc,max = 130.739 kN；静力分析结果。，对应的时间延迟为动力学实验中延迟时间 tD=0.1s 的方程，过程时序分析。。图8展示了无控制（Unc）、采用TDC-SAC-PSO方法和SOSC-PSO方法控制结构的位移、速度、加速度和控制力的均方根（RMS）时程曲线。SOSC-PSO方法表示具有时间延迟补偿及优化关键参数值的半主动控制方法。

静力学平衡分析；位移、速度、加速度、力图；TDC-SAC-PSO，SOSC-PSO。
图8：无控制结构与采用TDC-SAC-PSO方法及SOSC-PSO方法控制结构的位移、速度、加速度和控制力的均方根（RMS）时程曲线。（A）位移；（B）速度；（C）加速度；（D）控制力。缩写：Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；SOSC-PSO = 带时滞补偿的随机最优半主动控制方法。请点击此处查看该图的放大版本。

由图8可见，TDC-SAC-PSO 与 SOSC-PSO 两种控制方法的控制效果差异较小。前者的位移、速度和加速度均方根最大值分别为未控结构的 81.60%、81.21% 和 73.62%，后者分别为 82.59%、80.40% 和 73.04%。为全面分析两种控制方法下响应的概率特性，图9展示了未控结构、采用 TDC-SAC-PSO 方法控制的结构以及采用 SOSC-PSO 方法控制的结构在位移、速度和加速度上的概率密度函数（PDF）。在典型时刻，两种控制方法的位移和速度 PDF 几乎相同。SOSC-PSO 方法的加速度 PDF 比 TDC-SAC-PSO 方法更窄，表明前者在降低加速度的不确定性方面具有更优的控制效果。

静态平衡概率分布的三维图；位移、速度、加速度分析。
图9：不同控制结构下位移、速度和加速度的概率密度函数（PDF）比较。（A）位移；（B）速度；（C）加速度。缩写：PDFs = 概率密度函数；Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；SOSC-PSO = 带时滞补偿的随机最优半主动控制方法。请点击此处查看该图的放大版本。

无控制结构以及采用TDC-SAC-PSO和SOSC-PSO方法控制结构的位移、速度、加速度和控制力的可靠性如表2所示。与无控制结构相比，两种控制方法均显著提高了可靠性。TDC-SAC-PSO与SOSC-PSO方法在位移可靠性方面差异较小。而在加速度可靠性方面，尽管其仍为受控结构中最低的可靠性指标，但已有明显提升。这表明SOSC-PSO方法实现了平衡的最优控制效果。

控制方法	位移	速度	加速度	控制力	最小值
Unc	0.0954	0.1058	0.1111	--	0.1111
TDC-SAC-PSO	0.9565	0.8107	0.7654	0.9845	0.7654
SOSC-PSO	0.953	0.8704	0.8934	0.9586	0.8934

表2：不同控制方法下结构的可靠性。 缩写：Unc = 未控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；SOSC-PSO = 带时滞补偿的随机最优半主动控制方法。

对带有时间延迟的所提出SOSC-PSO方法的有效性进行了分析，其中动力学实验和过程时序分析中的延迟时间方程为延迟时间方程，tD=0.1s，用于动力学实验和过程时序分析。。为进一步验证该方法在不同时间延迟下的性能，表3给出了时间延迟范围 $运动学分析中表示时间区间的方程，$t_D \in [0, 0.3]s$。$ 内的最优参数值及其对应的可靠性。

t_D(s)	lg(r*)	C_D(kN·s/mm)	U_dc_,max(kN)	位移	速度	加速度	控制力
0	-2.524	1.44	116.163	0.9997	0.9998	0.9752	1
0.02	-4.413	0.414	144.066	0.9989	0.9988	0.872	0.9011
0.04	-4.416	0.25	141.759	0.9998	0.9846	0.8881	0.9135
0.06	-3.226	0.203	145.613	0.993	0.9318	0.8756	0.9556
0.08	-5.207	0.345	133.692	0.9646	0.8998	0.8998	0.953
0.1	-4.669	0.702	130.739	0.9531	0.8704	0.8934	0.9586
0.12	-4.895	0.833	69.72	0.9526	0.863	0.888	0.9686
0.14	-4.231	0.921	75.221	0.9531	0.8681	0.8697	0.9671
0.16	-5.594	0.662	138.922	0.9529	0.8461	0.8262	0.931
0.18	-4.262	0.882	76.335	0.9516	0.7873	0.7614	0.9618
0.2	-3.926	0.783	67.951	0.904	0.7277	0.7116	0.9653
0.22	-5.965	1.071	52.554	0.8377	0.6411	0.6205	0.965
0.24	-4.481	1.216	128.148	0.7567	0.474	0.474	0.9687
0.26	-3.53	0.672	53.706	0.53	0.4096	0.4158	0.9921
0.28	-4.433	0.638	64.225	0.3547	0.3745	0.3464	0.9928
0.3	-3.536	0.459	57.705	0.2735	0.316	0.2736	0.9929
Unc	--	--	--	0.0954	0.1058	0.1111	--

表3：不同时间延迟下的最优参数值及相应的可靠性值。 色谱系统；使用柱装置进行DNA分离的示意图；瞬态吸收分析。 表示时间延迟； 用于数学分析的对数函数公式 lg(r*) 符号 表示r的最优对数值，r表示控制加权矩阵的系数； 流体动力学分析中阻力系数的方程符号 C_D 表示磁流变阻尼器的黏性阻尼系数； 最大直流电压方程符号 "U_dc,max"，用于电气工程分析。 表示磁流变阻尼器的最大和最小库仑力。

可以观察到，即使存在时间延迟，与无控制结构相比，位移、速度和加速度的可靠性均有所提高，表明所提出方法对这类延迟具有鲁棒性。然而，随着时滞增大，采用所提出控制方法的结构响应可靠性有所下降，表明虽然时间延迟对控制效果的影响可以被缓解，但无法完全消除。值得注意的是，在不同时间延迟下，控制力的可靠性始终维持在90%以上。

3. 数值示例

为验证所提出的MDOF结构中的SOSC-PSO方法，分析了一个在第一层和第三层安装了两个磁流变（MR）阻尼器的六层结构，如图10所示。采用第2节中随机地震模型生成的地震样本，位移、速度、加速度和控制力的可靠性阈值分别为20 mm、200 mm/s、3,000 mm/s²和200 kN。采用式(27)作为权重矩阵，其中 q=10^5 数学方程，用于定量分析。使用MATLAB的遗传算法（GA）工具箱对静力平衡，ΣFx=0，ΣFy=0，Στ=0，示意图，受力分析，物体平衡，受力体图。、空气动力学概念；阻力系数公式，c下标D，用于分析；流体动力学研究。和最大直流电压方程，Udc,max，用于电气系统分析的公式。进行优化，其最优范围分别为科学计数法表示的r范围公式。、 $系数范围表达式 $c_D \in [0.2,2]$ kN·s/mm；结构动力学，公式。$ 和静力平衡方程 Udc,max ∈ [50,200] kN，用于力范围分析的公式。。

用于振动控制分析的带MR阻尼器系统的多层建筑静力平衡示意图
图 10：带两个MR阻尼器的六层结构。缩写：MR = 磁流变。请点击此处查看该图的放大版本。

3.1 时间延迟的影响分析

为分析时滞对多自由度结构中磁流变阻尼器控制效果的影响，图11展示了采用TDC-SAC-PSO方法时，结构位移（层间位移）、速度（层间速度）和加速度（楼层加速度）的最大均方根值（RMS）随时间延迟的变化情况。磁流变阻尼器参数设置如下：第一层阻尼器参数为 r 等于 10 的 -1.01 次方；数学公式。、 $阻尼系数方程 $c_D = 0.531 \, \text{kN} \cdot \text{s/mm}$，工程分析。$ 和最大位移计算公式，U_dc,max=129.7 kN，结构分析方程。；第三层阻尼器参数为阻尼系数公式，cₑ = 0.217 kN·s/mm，静力平衡研究。和静力平衡方程，Udc,max = 176.6 kN，结构分析工程公式。，以上参数均为无时滞条件下的优化结果。受控结构响应的最大均方根值随时间延迟呈现周期性波动。其中，位移和速度的最大均方根值出现在第一层，加速度的最大均方根值出现在第六层。此外，在任意时滞条件下，所有响应的最大均方根值均大于无时滞时的对应值，表明时滞会降低磁流变阻尼器的控制效果。

静态平衡下结构响应的位移、速度、加速度随时间变化的曲线图。
图11：TDC-SAC-PSO方法控制结构的响应最大均方根值及时间延迟。（A）位移；（B）速度；（C）加速度。缩写：RMS = 均方根；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时间延迟系统。请点击此处查看该图的放大版本。

位移、速度和加速度的可靠性以及时滞的影响如图12所示。速度和加速度的可靠性随时间延迟呈现周期性波动，而位移的可靠性则随时间延迟显著下降；在任何时间延迟下的可靠性值均低于无时间延迟的情况。因此，必须采用时间延迟补偿方法，以减小时间延迟对MR阻尼器控制结构可靠性的影响。

静态平衡图；时间延迟与可靠性；位移、速度、加速度曲线。
图 12：结构受控响应的可靠性随时间延迟的变化。 请点击此处查看此图的放大版本。

3.2 时间延迟补偿的控制效果

基于所提出的TDC-SAC-PSO方法，对带有两个磁流变阻尼器的6自由度结构进行了分析。图13展示了无控制（Unc）、采用TDC-SAC-PSO方法控制以及采用TDN-SAC-PSO方法控制的结构在第1层和第3层的位移与加速度均方根（RMS）时程曲线。时间延迟为 $静力平衡方程 $ T_D = 0.14s $，机械动力学研究示意图。$ ，权重矩阵比为 r 等于 10 的 -1.01 次方；数学公式。；第1层磁流变阻尼器参数为 $阻尼系数方程 $c_D = 0.531 \, \text{kN} \cdot \text{s/mm}$，工程分析。$ 、最大位移计算公式，U_dc,max=129.7 kN，结构分析方程。；第3层磁流变阻尼器参数为阻尼系数公式，cₑ = 0.217 kN·s/mm，静力平衡研究。和静力平衡方程，Udc,max = 176.6 kN，结构分析工程公式。。

振动分析图表；使用TDC-SAC-PSO和TDN-SAC-PSO方法的位移与加速度数据随时间变化。
图13：采用不同控制方法的结构在第1层和第3层的位移与加速度均方根（RMS）时程曲线。（A）第1层位移；（B）第3层位移；（C）第1层加速度；（D）第3层加速度。缩写：RMS = 均方根；Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；TDN-SAC-PSO = 不带补偿控制的时滞系统。请点击此处查看此图的放大版本。

采用TDN-SAC-PSO方法后，在未补偿时间延迟的情况下，第1层和第3层位移的最大均方根（RMS）分别减少了35.42%和30.44%；而在进行时间延迟补偿后，第1层和第3层位移的最大均方根（RMS）分别减少了49.33%和53.39%。在未补偿的情况下，第1层和第3层加速度的最大均方根（RMS）分别增加了16.22%和2.88%，而经过补偿后则分别降低了25.77%和36.00%。因此，在磁流变阻尼器控制方法中对时间延迟进行补偿，对于降低结构响应（尤其是加速度响应）是必要的。

TDC-SAC-PSO 和 TDN-SAC-PSO 方法下位移/加速度的概率密度图。
图14：不同控制方法下1层和3层楼的位移与加速度概率密度函数（PDFs）。（A）1层楼的位移；（B）3层楼的位移；（C）1层楼的加速度；（D）3层楼的加速度。缩写：PDFs = 概率密度函数；Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；TDN-SAC-PSO = 带无补偿控制的时滞系统。请点击此处查看该图的放大版本。

第1层和第3层位移与加速度的概率密度函数（PDF）如图14所示，揭示了TDC-SAC-PSO和TDN-SAC-PSO方法相较于无控制结构的不同控制效果。在未进行补偿的情况下，第1层和第3层位移的PDF仍比无控制结构的更窄。进一步地，在对时间延迟进行补偿后，位移的PDF比采用TDN-SAC-PSO方法控制的结构更窄。与位移不同的是，在未补偿的情况下，TDN-SAC-PSO方法下第1层加速度的PDF比无控制结构的更宽。然而，在进行补偿后，第1层和第3层加速度的PDF均比无控制结构的更窄。因此，时间延迟补偿对于提高结构响应的确定性（尤其是加速度）具有必要性。

控制方法	位移	速度	加速度	1^楼控制力	3^楼控制力
无控	0.0114	0.5822	0.6372	--	--
TDN-SAC-PSO	0.5851	0.5258	0.398	1	1
TDC-SAC-PSO	0.806	0.8674	0.8037	1	1

表4：不同控制方法下结构的可靠性。 缩写：Unc = 未控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；TDN-SAC-PSO = 带非补偿控制的时滞系统。

采用不同控制方法对结构系统进行控制时，位移、速度、加速度和控制力的可靠性数值如表4所示。结构响应的可靠性数值通过等效极值法²⁵计算得到。在TDN-SAC-PSO方法控制下，位移的可靠性相比无控制结构有所提高，而速度和加速度的可靠性则有所下降。在TDC-SAC-PSO方法中引入时间延迟补偿后，位移、速度和加速度的可靠性显著提升。此外，TDN-SAC-PSO和TDC-SAC-PSO两种方法下的控制力可靠性均保持在足够高的水平。因此，所提出的具有时间延迟补偿的控制方法对磁流变阻尼器控制结构实现了良好的控制效果。

3.3 参数优化

为实现最优控制效果，基于可靠性准则对所提出的控制方法的参数进行了优化。在时滞 $静态平衡，公式 $ T_D = 0.14\,\text{s} $，用于机械动力学研究的示意图。$ 的条件下，优化结果为指数计算，其中 r = 10^-2.297，公式表示。；静态平衡方程，c_D=0.876 kN·s/mm，适用于机械分析研究。，以及 $显示最大静态平衡力的公式，$ U_{dc,max} = 80.940 \, \text{kN} $。$ ，对应于1楼的MR阻尼器； $表示阻尼系数的公式，$c_D = 0.205\,\text{kN⋅s/mm}$，与机械阻尼相关。$ 和最大力计算公式：Udc,max=163.801 kN，结构分析结果。，对应于3楼的MR阻尼器。

第1层和第3层楼的位移与加速度均方根（RMS）时程曲线如图15所示，其中比较了TDC-SAC-PSO和SOSC-PSO方法以及无控制结构的控制效果。采用MR阻尼器控制后，无论是否进行时滞补偿，位移和加速度的均方根值均显著降低。采用SOSC-PSO方法时，第1层和第3层楼的最大位移均方根值相对于无控制结构分别降低了65.15%和63.16%。与TDC-SAC-PSO方法相比，位移响应进一步减小。对于SOSC-PSO方法，第1层和第3层楼的最大加速度均方根值分别降低了23.39%和35.60%。SOSC-PSO与TDC-SAC-PSO方法在加速度控制效果上的差异较小，表明时滞补偿对位移和加速度的控制效果存在差异。

位移、加速度分析；TDC-SAC-PSO 与 SOSC-PSO 方法的数据对比图。
图 15：不同控制方法下第1层和第3层的位移与加速度均方根时程曲线。（A）第1层位移；（B）第3层位移；（C）第1层加速度；（D）第3层加速度。缩写：RMS = 均方根；Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；SOSC-PSO = 带时滞补偿的随机最优半主动控制方法。请点击此处查看此图的放大版本。

第1层和第3层的位移与加速度概率密度函数（PDF）如图16所示；与未控制结构相比，TDC-SAC-PSO和SOSC-PSO方法均使位移和加速度的PDF变窄。此外，采用SOSC-PSO方法控制后的结构，其位移和加速度的PDF相较于TDC-SAC-PSO方法进一步收窄。因此，在参数优化条件下，所提出的时滞补偿控制方法比未优化时取得了更优的控制效果。

动态分析图表；位移/加速度的概率密度函数；TDC-SAC-PSO 与 SOSC-PSO 对比。
图16：不同控制方法下1层和3层的位移与加速度概率密度函数。（A）1层位移；（B）3层位移；（C）1层加速度；（D）3层加速度。缩写：PDFs = 概率密度函数；Unc = 无控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿的时滞控制系统；SOSC-PSO = 带时滞补偿的随机最优半主动控制方法请点击此处查看该图的放大版本。

位移、速度、加速度和控制力的可靠性数值如表5所示。SOSC-PSO方法的可靠性数值高于TDC-SAC-PSO方法。同时，控制力仍保持了足够的可靠性。因此，为实现基于磁流变阻尼器的控制方法的最佳控制效果，参数优化是必要的。

控制方法	位移	速度	加速度	1^楼控制力	3^楼控制力
无控	0.0114	0.5822	0.6372	--	--
TDC-SAC-PSO	0.806	0.8674	0.8037	1	1
SOSC-PSO	0.9544	0.9314	0.8788	1	1

表5：不同控制方法下结构的可靠性。 缩写：Unc = 未控制；TDC-SAC-PSO = 带补偿控制的时滞系统；SOSC-PSO = 带时滞补偿的随机最优半主动控制方法。

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结果

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

针对时间延迟对基于磁流变阻尼器控制方法效果的影响，本文提出了一种带有时间延迟补偿的半主动控制方法。在所提出的方法中，关键参数基于可靠性准则进行优化。通过对比控制效果，得出以下结论：

（1）基于磁流变阻尼器的半主动控制方法比主动控制方法更具鲁棒性。即使存在时间延迟，半主动控制系统仍能实现一定的控制效果，而不会导致失稳。

（2）采用磁流变阻尼器的半主动控制方法的控制效果受时间延迟影响显著，且随时间延迟呈现出周期性波动的特征。

（3）采用时间延迟补偿后，半主动控制结构的可靠性显著提高，不确定性降低。

（4）通过优化所提出的半主动控制方法的关键参数，结构控制系统实现了对不同响应的均衡最优可靠性。

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讨论

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

随着物理随机最优控制理论（PSO）的引入，本文提出了一种带有时滞补偿的随机最优半主动控制方法（SOSC-PSO），旨在维持由磁流变阻尼器控制结构的可靠性。为补偿该方法中的时滞效应，半主动控制力不仅表示为当前状态的函数，还表示为离散状态空间中前若干时间步的状态和控制力的函数。为了实现最优的控制效果以提升可靠性，SOSC-PSO方法中的关键参数基于结构控制系统的可靠性准则进行优化。

为验证该方法，研究了在随机地震激励下、由磁流变阻尼器控制的单自由度和多自由度结构。分析结果表明，时间延迟会显著降低磁流变阻尼器的控制效果。然而，若采用包含时间延迟补偿的合理设计的半主动控制方法，则可大幅提高控制效果。此外，通过优化参数，与未进行参数优化的方法相比，SOSC-PSO 方法可进一步提升结构控制系统的可靠性。

基于磁流变阻尼器的半主动控制方法由于反馈过程存在时间延迟，导致在随机激励作用下的土木工程结构可靠性下降。本研究有助于提高磁流变阻尼器控制结构的可靠性，可应用于承受地震或强风作用的工程结构。此外，在实际结构中实施此类控制系统时，不存在潜在...

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披露

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

所有作者均无利益冲突需要声明。

致谢

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

作者谨此感谢河北省自然科学基金（资助号：E2023210007）的支持。

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材料

本文使用的材料清单
姓名	公司	目录编号	评论
MATLAB	MathWorks	2016	用于所提出方法的计算

参考文献

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基于磁流变阻尼器考虑时滞的结构随机半主动控制方法

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