使用人工神经网络与分数权重模型优化负荷调度

摘要

本文提出了一种将人工神经网络与分数阶加权模型相结合的创新方法，用于负荷调度优化。该混合方法能够实现更精确、自适应的预测和动态负荷分配，有助于在不同运行条件下平衡需求、降低传输损耗并增强电网稳定性。

摘要

本文描述了一种优化印度地区负荷调度中心实时负荷数据的协议，该方法采用混合人工神经网络（ANN）与分数阶加权负荷调度（FWLD）相结合的策略。流程包括数据输入、分数阶计算（利用分数阶微积分引入时间上的α记忆性与非局部性）、ANN模块训练，以及实时调度决策的生成。所引用的S,T,D,C,T模型（即供给、传输、需求、成本与时间）能够有效追踪S,T,D,C,T的实时波动，以优化能源分配。该方法在负荷分配与电网振荡适应性方面优于传统方法。实验研究表明，训练阶段的均方误差（MSE）为245.80 MW² ，测试阶段为260.95 MW²；测试阶段的均方根误差（RMSE）分别为15.68 MW和16.15 MW；同时记录了平均绝对百分比误差（MAPE）值，均低于10.35%，显示出更优的预测能力。人工神经网络学习与分数阶加权方法的结合，为当前电力系统优化提供了更高的稳定性、效率与可扩展性。

引言

负荷调度优化是现代电网中的一个关键问题，涉及以最低成本和最高稳定性充分利用发电能力以满足用电需求。传统方法难以应对电力系统的动态特性，因此已开发出多种计算方法。本文将人工神经网络（ANN）与分数权重负荷调度（FWLD）相结合，以优化电力系统。近期研究表明，基于ANN的模型在短期电力负荷预测中具有较高效率。近年来，众多研究已深入探讨了ANN及其变体在电力系统预测与优化中的应用。Xu等人¹提出一种LSTM混合模型，用于实现精确的短期负荷预测，研究涵盖了短期负荷预测与风电功率预测。类似地，Hu等人²采用深度置信网络以提升风电功率预测精度，而Jamii等人³则致力于构建基于人工神经网络的方法，用于预测风电出力与负荷需求，从而实现更优的能源管理。Ilić等人⁴进一步通过混合方法支持基于ANN的短期负荷预测。这些研究结果表明，神经网络能够有效应对能源需求中的间歇性与不稳定性问题。

人工神经网络（ANN）还被应用于电力系统优化和经济负荷调度。Abdolrasol 等人⁵对基于人工神经网络的优化方法进行了全面综述，Abdelaziz 等人⁶则将霍普菲尔德（Hopfield）网络与二次规划相结合，提出了一种改进的动态调度方法。Saeed⁷ 以及 Miracle 等人⁸致力于利用集成人工神经网络的元启发式算法，以降低混合可再生能源系统的运行与调度成本；而 Khalid 等人⁹提出了一种基于人工神经网络的负荷调度方法，从用户角度促进需求侧管理。在深度学习与分层模型的前沿领域，Tang 等人¹⁰提出了一种基于深度神经网络的分层学习方法，用于多区域调度控制；Capizzi 等人¹¹则构建了一种改进的神经网络模型，用于智能电网系统内可持续且连续的电力分配。

自适应方法为经济负荷分配优化提供了补充。Jiriwibhakorn 和 Wongwut¹² 通过结合人工神经网络（ANNs）的自适应神经模糊推理系统来估算电力需求，突显了混合方法在调度管理中的能力。分数阶微积分在电力系统应用中的引入已取得有前景的成果。Karaca 和 Baleanu¹³ 利用分数阶数学、微积分与人工智能，解决了混沌系统的复杂性问题，从而展示了这些科学在电力系统优化中的重要性。同样，Tzounas 等人¹⁴ 为分数阶控制器的理论基础做出了贡献，并展示了其在动态调度中的有效性。相比之下，尽管这些研究往往集中于特定应用中的理论考量，我们的系统则预见了分数阶建模与自适应参数选择相结合的应用，尤其适用于实时能量负荷预测与优化。这一从理论向实际应用的转变，以及在稳定性和预测精度方面的提升，超越了以往的研究。

Soni 和 Bhattacharjee¹⁵提出了一些先进的优化策略，用于解决高比例可再生能源接入条件下的经济负荷分配（Economic Load Dispatch, ELD）和经济排放调度（economic emission dispatch, EED）问题。这些作者采用了现代元启发式算法，构建了多目标优化框架，所用算法包括均衡优化器 ^16,17,18、人工电场算法 ^19,20以及正弦余弦算法 ¹⁵。这些方法考虑了阀点效应、多种燃料选择以及与插电式电动汽车的集成，上述因素均使其调度问题呈现出非线性和复杂性。这些研究成果共同构成了经济性高、兼顾排放控制且可靠的调度解决方案，尤其适用于可再生能源渗透率较高的微电网和智能电网环境。

Muraleedharan 等人的研究^21,22 展示了诸如改进的基于对立的粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）以及结合卡方变异的量子行为 PSO 等拓扑群智能方法，如何解决经济性与排放联合调度问题。这些方法建立在元启发式方法日益重要的基础之上，用于优化涉及成本和环境约束的复杂能源分配问题。与此理念一致，Swathy 和 Babu²³ 提出了基于对立的收缩因子 PSO 用于经济负荷调度，进一步证实了自适应群智能算法的优势，可确保电力系统运行的高效性与可靠性。这些研究认为，求解负荷调度问题可能需要采用强大的优化技术，例如结合机器学习工具的 PSO 变体，以应对现代负荷调度问题所具有的非线性、多目标特性。

全球能源需求的突然激增，加上可再生能源的广泛使用，极大地增加了电力系统优化任务的复杂性。传统的负荷调度策略无法应对现代电力系统的动态行为，因为这些策略基于确定性模型，未考虑发电、需求和输电损耗的时间序列变化。这些变化由天气模式、用户行为和电网稳定性等不可预测因素引起，需要一种更先进、更动态的负荷调度方法。此外，当前的优化方法在准确预测能源需求方面往往存在不足，导致负荷分配不均、运行成本升高以及能源浪费。该调度模型使用了来自印度电网公司（Power Grid）北部、特伦甘纳邦南部电力配电公司有限公司（TSSPDCL）南部、奥里萨电网公司有限公司（GRIDCO）东部以及马哈拉施特拉邦负荷调度中心（MSLDC）西部的区域负荷调度中心在2022年6月至2023年1月期间的实际运行数据进行测试。该数据集代表一个中等规模的电网，其峰值负荷在100至500兆瓦之间，负荷与发电数据每15分钟记录一次。在模型训练前，数据通过Python脚本进行了归一化、异常值剔除和时间序列对齐等预处理。在此条件下，模型表现出良好的可执行性，并可在中等计算资源下快速运行。需要指出的是，尽管所提出方法中的分数阶计算有助于捕捉记忆效应和多种动态依赖关系，但在将模型扩展至具有精细时间分辨率的大规模电网时，此类分数阶计算必然带来更高的计算开销。鉴于这些局限性，迫切需要一种前沿的调度策略，通过利用预测分析和数学精确性来提升电力分配中的决策能力。本研究的推动力在于构建一种将人工神经网络（ANNs）与基于分数阶微积分的加权优化相结合的高效智能负荷调度模型。通过融合机器学习技术，该模型旨在增强预测效能与响应能力，使电网能够动态地实时管理波动并重新分配能源。本研究致力于解决对可扩展、高响应性且低计算开销的调度机制的迫切需求，以增强电网稳定性、减少能源浪费，并建立更可持续的电力控制方法。

所提出的模型在调度计划制定中具有较高的准确性，在相应的电网条件下，与传统的确定性调度模型相比，其均方误差（MSE）降低了约15%⁴。近期研究表明，基于人工神经网络（ANN）的模型^1,5,24以及混合预测方法^2,3,6在短期负荷预测与调度优化方面展现出良好的应用前景。分数阶微积分^13,14被证实能够有效捕捉复杂的动态行为。基于上述思路，本文提出将人工神经网络与分数阶沃尔什-勒让德微分器（FWLD）进行创新性耦合，构建一种显著提升电力系统优化性能的混合框架。所提出的方法在典型峰值负荷为100–500 MW的电网系统中进行了评估，输入数据每15分钟采样一次，训练过程在标准工作站上完成（见材料表）。尽管该方法在预测精度方面表现良好，但在实时系统中应用时可能需要较高的计算时间。传统的负荷调度方法主要依赖启发式方法、传统优化算法或线性数学模型，难以应对现代电力系统所具有的非线性、时变性特征。

与这些传统方法相比，新模型采用基于分数阶微积分的加权方案，能够更灵活地响应电网变化并具有更高的敏感性。本研究的创新之一在于分数阶加权所提供的动态适应能力，使模型能够更好地应对供应、输电、需求、成本和时间（S, T, D, C, T）的实时变化。通过引入人工神经网络（ANN）的学习能力，该框架可准确预测负荷波动，并根据不断变化的电网状况动态调整能源调度策略。分数阶数学与机器学习的结合确保了更高水平的优化，减少了能量失衡，降低了成本，并提升了系统的整体鲁棒性。负荷调度优化研究在传统方法上已取得显著进展，而近年来，元启发算法和机器学习方法也得到了广泛应用。然而，在有效融合分数阶微积分与人工神经网络（ANN）以应对电力系统中记忆效应和非局部依赖性影响方面，仍存在明显的研究空白。

本研究旨在通过开发并验证一种融合人工神经网络（ANN）学习与FWLD模型的混合框架，以实现精确的实时负荷分配，同时快速适应供需条件的变化，从而提升电网稳定性。本研究的独特之处在于将分数阶微分与ANN预测控制相结合，相较于当前的传统或混合方法，能够为电网振荡提供更高的灵活性、更强的检测能力及更迅速的响应。此外，这种新颖方法支持更好的可扩展性，因此非常适用于从局部微电网到大规模电力分配网络等多种能源基础设施。通过弥合可预测性分析与数学严谨性之间的差距，本研究展示了一种创新框架，旨在优化能量调度系统，以最大化能效与可持续性。通过整合分数阶加权机制与基于ANN的学习方法，本研究致力于提升负荷调度优化中的可扩展性、效率与稳定性。

方案

电力调度的分数阶数学模型

本研究通过分数阶微分方程推导出用于最优功率分配的FWLD模型。采用Caputo分数阶导数以考虑系统中的记忆效应，从而更准确地理解功率随时间的变化特性。我们还通过Grünwald-Letnikov（GL）方法给出了数值解，该方法适用于电力系统中分数阶模型的离散化²⁵。

模型概述

FWLD 模型旨在通过引入分数阶微积分来优化电力调度策略，以纳入先前功率波动的影响。传统的电力调度模型通常采用整数阶微分方程，假设电力传输和消耗过程仅依赖于当前的状态变量。然而，实际电力系统表现出依赖记忆的行为，即过去的波动会影响当前和未来的电力分配。为克服这一不足，FWLD 模型采用分数阶导数，从而在计算中通过历史依赖关系更准确地描述电力关系。

FWLD 模型由五个相互作用的模块组成，分别代表不同的电力调度阶段。第一个模块， S，表示潜在的电源供应、产生的电能以及可用于传输的电量。随后，电能通过电网传输，图中以 T，这反映了发电单元向接收配电中心传输的功率。然而，在配电过程中，存在一些效率损失—电力线路中的电阻与系统损耗—影响电力的有效输送。有效输送给消费者的电力份额属于 D，指分布式电力，用于衡量可供最终消费者使用的电力。下一步， C，是消耗的能量，用于衡量居民、工业和商业用户对电力的实际使用情况。最后， L 是由于电阻损耗、传输效率低下以及其他技术或环境原因导致的能量损失或功率耗散。

此外，FWLD 的分层模型允许每个单元具有可定义的参数（例如，发电效率、传输损耗），从而实现定制化，能够表示异构的电力基础设施，包括可再生能源与传统能源单元的组合、微电网以及分布式能源。

FWLD 模型的图示如图1所示。该图展示了电能通过不同环节的逐级流动过程，阐明了能量在系统中的产生、传输、分配、消耗及损耗机制。各环节之间的连接关系突显了电力调度的动态特性，即某一阶段的变化会影响后续各阶段。模型中采用分数阶导数，能够更深入地揭示此类依赖关系，从而使其成为优化电力分配和降低输电损耗的有效工具。FWLD 模型通过应用分数阶微积分，提升了预测能力，有助于实现更稳定、高效的能源分配系统。

图 1：FWLD 模型的图示表示。 本示意图展示了模型组件的结构流向及其相互连接关系。缩写：FWLD = 分数加权负载调度。 请点击此处查看此图的放大版本。

数学表达

FWLD 模型以分数阶微分方程组的形式提出，用于捕捉电力调度过程中涉及的复杂相互作用。该模型采用阶数为 α（其中 0 < α ≤ 1）的 Caputo 分数阶导数，能够引入电力传输与使用动态中的记忆效应和历史依赖性。与传统的整数阶微分方程相比，分数阶导数通过考虑系统的长期依赖性和瞬态行为，对功率流动提供了更精确的描述。

从数学上讲，FWLD 模型中不同舱室间功率的演化由以下分数阶微分方程组所支配：

(1)

每个变量都代表电力调度的一个重要阶段。S(t) 表示在时间 t 可用的电力供应，包括已产生并可供传输的全部电能。当电力在电网中传输时，其中一部分被输入到 T(t) 中，代表传输的电能，即通过配电通道输送的能量。由于系统效率低下、损耗以及网络中的电阻，不是所有传输的电力都能成功送达用户。成功送达的电力由 D(t) 表示，即可以被用户消耗的已分配电能。用户使用这部分能量，从而将其转化为 C(t)，即实际消耗的能量，表示工业、商业和居民用户的实际用电量。但由于传输过程中的效率损失及其他技术限制，部分电能不可避免地损失，这部分损失的能量由 L(t) 表示。

该模型包含若干关键参数，用于定义这些区室之间的相互作用。传输效率系数 β 表示从供电端有效传输到配电通道的功率比例。调度速率决定了有效传输的功率转化为实际分配功率的程度。消耗速率 θ 描述了终端用户消耗已分配电力的速率。同时，能量损失率 η 用于衡量在输电系统中因电阻发热、泄漏以及技术性损耗而损失的电力所占的比例。最后，损失回收率 δ 表示通过可再生能源、优化方法或其他效率提升手段能够回收的损失电力所占的比例。

上述分数阶微分方程通过采用Caputo分数阶导数引入记忆效应，对功率关系的时间动态进行建模²⁶。分数阶导数使该模型能够更准确地描述现实中的能源系统，其中过去的功率波动会影响未来的功率调度决策。该数学模型提高了功率分配分析预测的准确性，并通过减少损耗和提升效率，优化了能源管理策略。

数值求解方法：GL 方法

由于分数阶微分方程的解析解求解过程复杂，数值方法在求解FWLD模型中起着至关重要的作用。格鲁恩瓦尔德-莱特尼科夫（GL）方法是求解分数阶微分方程最常用的数值方法之一，它能够对分数阶导数进行直接离散化。

GL分数阶导数的定义²⁶

GL 分数阶导数的定义如下：

   (2)

其中 h 为步长，α 为分数阶，非整数 α 的二项式系数由下式给出：

    (3)

由于无限求和在实际中无法计算，因此将其截断为至 N 的有限和，从而得到数值近似解：

    (4)

在公式（2）中，Grünwald-Letnikov 分数阶导数被定义为依赖于历史值的加权和的极限，从而表示函数 y(t) 的所谓分数阶导数。公式（3）通过 Gamma 函数定义了任意非整数阶 α 的广义二项式系数，从而使分数阶项能够被正确计算。公式（4）则通过将公式（2）中的无穷级数截断为有限项 N，给出了实际的数值近似形式。正是这种离散形式被实际应用于仿真中。

将GL近似应用于FWLD系统（1），可得到状态变量的一组离散更新方程。设S_n、T_n、D_n、C_n、L_n表示系统在离散时间点的状态。数值离散化如下：

   (5)

补充图 S1 （参见 补充文件 1展示了GL离散化的图形可视化及其如何利用历史函数值估计分数阶导数。它通过对历史数据进行加权求和，体现了分数阶微积分中的内部记忆效应。该图还可能说明系统的工作方式'随着分数阶α的变化，解的演化也随之改变，展示了该解与传统整数阶导数的偏差。通过表征状态的渐变过程及历史状态的影响，离散化方法能够高效模拟具有长时依赖性的实际过程。该可视化有助于理解分数阶系统的数值实现及其应用。

数值实现

在本节中，将数值求解方法应用于FWLD模型，利用Python中的GL方法高效计算分数阶导数，并迭代更新系统状态。本研究采用将时间离散化为微小增量的方法，并通过公式（3）。首先对时间域进行离散化处理，采用恒定的时间步长 h 以确保稳定性和准确表示系统动力学特性。根据GL分数阶导数的定义，可依据公式（4）。根据伽玛函数，二项式系数已按公式（3。此外，利用非整数阶微分的二项式系数的递归公式，对分数阶行为进行了真实有效的表征。在获得这些系数后，我们通过迭代方法计算了状态变量 S_n,T_n,D_n,C_n,L_n 在每个时间步长，根据从FWLD系统导出的分数阶差分方程（公式(1）和（5)). 经过多次迭代计算，系统随时间的演化过程得以追踪。在每一时刻，前一状态的数值均用于确定下一状态，这与GL方案完全一致（公式（4)). 绘制了不同分数阶阶次 α 下所有状态变量的时间演化图，以研究其对系统动力学行为的影响。采用分数阶微积分的FWLD模型行为通过各变量的时间序列图进行图示展示。这些时间序列图用于确定系统的稳定性、收敛性，以及分数阶微分对系统的总体影响。这种定量方法有助于展示GL方法（公式（2)–(5）以建模真实世界的动态系统，阐明为何需要分数阶导数来更精确地量化复杂过程。

流程图中的 补充图 S2 （参见 补充文件 1) 示意图展示了使用 GL 近似计算分数阶导数的逐步过程。该过程从参数初始化开始，例如指定分数阶 α 和步长 h，然后设定状态变量的初始条件。该迭代算法计算二项式系数，应用GL法则，并在每一步更新系统状态。每次迭代均进行收敛性检验，确保过程持续进行至最后一步，随后对计算结果进行汇总并可视化。编程符号的使用有助于清晰理解计算过程及其连续运行。

为了确保数值实验的可重复性，需要说明模拟中采用的标准参数和设置。分数阶取为 α = 0.85，以反映实际电力系统中常见的亚扩散动力学行为。时间步长选择为 h = 0.01，以确保数值稳定性及足够的时间分辨率；同时，GL 求和截断至 N = 50 项，以在保持计算效率的同时不显著损失精度。系统系数设定为 β = 0.03；γ = 0.25；θ = 0.2；η = 0.15；δ = 0.1。初始条件设定为 S(0) = 1000 MW，T(0)、D(0) = 0，C(0) = 0，以及 L(0) = 0。模拟总时长为 24 小时，划分为 2,400 个时间步长。这些明确的参数值将有助于其他研究人员复现数值求解方法，从而验证结果。

主脚本包含用于计算Grünwald–Letnikov二项式系数的函数GL_binomial()、用于更新状态变量的函数fractional_update()，以及用于绘制时间序列图的函数plot_states()。用户可在Colab中打开笔记本，在输入单元格中输入参数（α、 h、N等），运行参数初始化单元格，运行GL_binomial()函数，运行fractional_update()循环单元格，最后运行plot_states()单元格以获得结果。无需本地安装，只需一个网络浏览器和一个Google账户即可逐步执行所有操作命令。

稳定性分析

为了确保FWLD模型的数值稳定性，我们分析了其系统矩阵的特征值。动力系统的稳定性与其特征值的动力学行为密切相关，因为特征值反映了系统随时间的变化方式。FWLD模型的系统矩阵表达式如下：

(6)

系统'其稳定性通过分析矩阵的特征值 λ 来计算 A当所有特征值满足以下条件时，称该系统在数值上是稳定的：
Re(λ) ≤ 0

该条件确保系统状态的扰动或偏差不会随时间增大，从而避免数值不稳定。如果所有特征值的实部均为非正值，则系统将收敛至稳态，状态变量不会出现无界增长。如果某个特征值具有正实部，则系统可能不稳定，并可能导致数值解发散。

为确保稳定性，我们针对不同的分数阶阶次 α 和参数值，计算了矩阵 A 的特征值。数值模拟结果表明，在合适的参数取值下，系统是稳定的。稳定性分析的特征值图见补充图 S3（参见补充文件 1），图中特征值在复平面上的位置反映了系统的稳定性特性。若所有特征值均位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则可能出现不稳定现象。该分析对于保证 GL 方法应用于 FWLD 模型时数值实现的可靠性至关重要。

收敛性分析

为定义数值格式的收敛性，我们考虑随着步长减小，数值解逼近问题真实解的方式 h 趋近于零。收敛性原理告诉我们，如果 h → 0，则数值解必须收敛于该问题'其精确解。为了进行定量分析，我们计算在不同步长下两次连续近似解之间的绝对误差：

    （7）

如果当 h → 0 时，E_n → 0，则称该方法是收敛的。换句话说，数值解的收敛行为验证了GL方法的正确性。补充图S4（见补充文件1）绘制了分数阶导数的绝对误差随数值逼近中步长h的变化关系。随着步长h的减小，数值逼近结果变得越来越精细，绝对误差显著减小；这表明GL方法具有一致性，并且在无限细化的极限情况下收敛于真实解。从图中曲线可以看出，超过某一临界点后进一步细化网格所带来的改进逐渐减弱，因此需要在计算成本与精度之间做出权衡。收敛性分析从而证明了所采用的求解FWLD系统的数值方法的可靠性。

可视化与解读

图形绘图在解释系统行为和检验数值准确性方面具有重要意义。多种可视化形式能够更深入地揭示分数阶系统的行为特征。时序图展示了状态变量随时间的演化过程 S_n,T_n,D_n,C_n,L_n，从而能够分析趋势和稳定性特征。相空间图展示了不同状态变量之间的相互作用，有助于理解系统行为及可能的吸引子模式。误差分析图则比较数值解与参考解之间的差异，指明偏差所在，用于评估数值方法的准确性。'准确性 图2 是一幅时间序列图，描绘了模拟时间内状态变量的变化情况。通过该图，可以评估数值解的性能。'其稳定性和长期演化。

图 2：显示不同分数阶 α = 0.4、0.7、0.9 时状态变量演化的时间序列图。轨迹表明分数阶的变化如何影响系统的动态响应。缩写：α = 分数阶。请点击此处查看该图的放大版本。

时间序列图 图2 展示五个状态变量的演变过程 S, T, D, C，以及 L 在整个模拟周期内。供应 S 能量传递与消耗过程中的液滴；传递 T 最初由于电网损耗和配电延迟而上升，随后趋于稳定。分布式电力 D 受到与传输类似的动态影响，但由于电阻损耗而有所衰减。消耗的功率 C 平稳增加并趋于饱和，表明负载被高效地传递至终端用户。能量损失 L 在分数阶记忆效应下振荡并衰减，突出显示当前损耗水平如何受到历史状态的影响。比较不同分数阶次 α 可知，高阶次下系统稳定速度更快，但记忆效应较弱；相反，低 α 值则保留较强的历史依赖性，且过渡过程更为平缓。该性能分析验证了该模型在电力调度场景中捕捉真实非局部时间行为的能力。

与其他方法的比较

为了证明GL方法的准确性，我们将它的结果与其他数值分数阶方法进行比较。基于Caputo的预测-校正法和分数阶欧拉法是求解分数阶微分方程的常用方法。由于具有自适应校正步骤，基于Caputo的预测-校正法精度更高，但计算量较大。分数阶欧拉法实现较为简便，但其精度低于GL离散化方法。比较结果如图3所示，其中GL方法的输出结果与上述其他方法的输出结果进行了对比。该比较分析了计算成本与数值精度之间的权衡，验证了GL方法适用于求解分数阶系统的有效性。

图3：GL方法与其他分数阶数值方法的比较。该图展示了不同方法在精度和稳定性方面的差异。缩写：GL = Grünwald-Letnikov。 请点击此处查看该图的放大版本。

图 3 展示了使用 GL 方法时 FWLD 模型的成本与精度之间的权衡关系。随着步长 h 减小以及截断极限 N 增大，数值误差显著降低，从而有力地验证了收敛性并提高了精度。然而，由于数值范围较大，所需的计算量也随之增加。此外，步长减小时必须采用更小的时间步长，从而进一步增加计算负担。从图中可以看出，应在两者之间取得平衡，即在可接受的误差范围内避免过高的计算开销。在本研究中，步长 h 取 0.01 且 N = 50 时，获得了误差极小且运行时间可控的稳定结果，表明 GL 方法在电力调度应用中的实时分数阶仿真中具有较高的精度和可行的计算效率。采用 GL 技术的 FWLD 模型已被用于与整数阶系统中的标准差分格式进行数值结果的对比基准测试。在计算时间相当的情况下，GL 方法相较于 FDS 平均绝对误差降低了 18%，同时保持了可接受的计算耗时。这证明了分数阶建模在具有记忆依赖性的系统中具备更高的准确性，且并未带来显著的计算代价。

与传统的整数阶模型相比，GL 分数阶方法具有多种优势。首先，由于引入了记忆效应，分数阶模型能够更准确地描述现实世界中的负荷分配行为，因而具备更强的预测能力。其次，该方法改进了稳定性分析，因为分数阶导数能够更清晰地反映系统的稳定性和控制机制。另一个显著优点是其建模的灵活性，通过调节分数阶次，可适应不同的运行条件，从而使模型能够灵活应对多种负荷分配场景。GL 方法是求解分数阶负荷分配（FWLD）模型的一种有效数值方法。本研究采用 Python 实现，以精确计算系统的演化过程，验证其稳定性，并证明收敛性。未来的研究可致力于进一步提升计算效率，并将该方法的应用拓展至更复杂的分数阶系统，从而增强其在实际应用中的潜力。

数据收集与预处理

本文详细讨论了用于电力负荷预测的数据集，包括数据采集的方法以及为完善和组织数据所采取的必要预处理步骤。高质量的数据采集和系统化的预处理对于构建准确且稳定的预测模型至关重要，同时有助于保持电力负荷预测中的一致性。该数据包含多个馈线站在数月时间跨度内记录的实时调度负荷值。数据以每小时为单位进行采集，因此能够很好地反映由多种因素（如季节变化、日常负荷特征和大气条件）引起的电力需求波动。由于不同天气条件的影响，季节性变化会作用于电力需求，导致夏季制冷和冬季取暖时需求升高。每日负荷模式则体现了工作时段、用电高峰时段以及夜间用电减少所带来的变化。此外，负荷还受到天气突变、设备维护周期以及工业活动等外部因素的影响。

原始电力负荷数据通常存在缺失值、异常值和量纲不一致等不一致问题，这些问题在应用机器学习模型进行准确预测之前需要予以纠正。预处理流程包括处理缺失值、电力负荷的标准化、异常检测以及有助于提升预测性能的特征工程。由于传输中断或传感器故障导致的缺失值，采用插值技术和统计填补方法进行处理。为确保不同馈线站之间的数据一致性并避免模型训练过程中的偏差，对电力负荷值进行了归一化处理。由故障传感器或异常运行模式产生的异常值，通过高效的异常值剔除技术予以剔除。此外，还设计了若干相关特征，例如基于时间的指标（如一天中的小时、一周中的星期几以及季节性趋势），以提升模型的性能。

数据收集

本研究中使用的数据来自多个馈线站，这些馈线站负责监测不同地区的电力分配情况。馈线站经过战略性布局，能够有效记录电力负荷变化并平衡电力供应。每个馈线站以固定时间间隔记录电力消耗数据，并将数据传输至中央监控系统。该系统为自动化系统，可整合来自多个来源的数据，对不同地理区域之间的负荷差异进行全面分析。

数据集中的每个数据点包含三个重要特征：馈线名称、配电网的区分标识名称、以兆瓦（MW）为单位的计量负荷，以及测量时刻的时间戳。该数据集是带有时间戳的能耗记录，能够用于识别随时间变化的趋势和模式。表1展示了所收集数据集的一个小规模子集，包含在11 kV REC I1馈线站采集的部分 hourly 负荷数据。

馈线名称	数值 (MW)	时间
KV REC I1	34.6089	2022/1/12 1:00
KV REC I1	32.2761	2022/1/12 2:00
KV REC I1	30.2142	2022/1/12 3:00

表1：采集的负荷调度数据样本。

数据来自一个集中式的监控与数据采集（SCADA）系统，该系统整合了多个馈线站的数据。数据通过自动计量装置传输，以持续提供对电力负荷变化的实时监控。然而，由于运行中的限制，数据采集过程中存在传输故障、传感器故障和外部干扰等挑战。传输故障可能导致数据缺失，因此需要采用数据填补方法以确保数据集的完整性。传感器故障可能引起测量错误，因此需要利用统计方法进行异常检测与校正。停电和负荷的突然变化为数据处理增加了额外复杂性。为解决这些问题，预处理步骤包括严格的数据验证方法，例如异常检测、数据平滑和离群值校正，从而使数据集适用于基于机器学习的预测模型。经过清洗的数据集随后可用于进一步的特征提取和模型训练。

该数据集包含从一个公开可用的智能电网基准设施收集的12个月内历史每小时负荷数据。训练集占数据总量的80%，其余20%保留用于测试。差分算子D^α的分数阶加权以1小时为时间步长进行，其中Caputo表示法的α取值为0.85。输入特征被缩放到0至1之间。随后，模型以200个训练周期进行训练，并以每批次32个样本的迷你批次输入。用户可索取完整的数据集统计信息和预处理脚本，以实现结果的可重复性。

处理缺失数据

在实际数据集中，大多数情况下缺失值是一个主要问题，通常由临时连接中断、硬件故障或数据传输异常导致。如果不加以处理，缺失值容易使统计分析产生偏差，并导致预测模型不准确。成功处理缺失值可确保数据集的一致性和可靠性，从而提升模型性能。在本研究中，根据数据集中缺失值的分布情况和缺失类型，采用了多种填补方法。对于数据集中的短暂缺失间隙，采用线性插值法进行填补。该方法基于相邻的观测值来估计缺失值，从而在已知数据点之间实现平滑过渡。时间 t 处的缺失值计算公式如下：

    (8)

其中 X(t-1) 和 X(t+1) 分别为紧邻的前一个和后一个观测值。线性插值法对于较短的数据缺失间隔效果很好，但对于较长序列的数据缺失则不够理想。针对较大的数据缺失区间，采用了更先进的方法。本研究所使用的信息来自多个馈线站，这些站点负责监测不同地区的电力分配情况。馈线站经过战略性布设，能够有效记录负荷变化并平衡电力供应。各馈线站以固定时间间隔记录电力消耗数据，并将数据传送至中央监控系统。该系统为自动化系统，整合来自多个来源的数据，对不同地理区域间的负荷差异进行综合分析。本研究所使用的信息来自多个馈线站，这些站点负责监测不同地区的电力分配情况。馈线站经过战略性布设，能够有效记录负荷变化并平衡电力供应。各馈线站以固定时间间隔记录电力消耗数据，并将数据传送至中央监控系统。该系统为自动化系统，整合来自多个来源的数据，对不同地理区域间的负荷差异进行综合研究。

数据集中的每个数据点包含三个重要特征：馈线名称、配电网的区分名称、以兆瓦（MW）为单位的计量负荷，以及测量时刻的时间戳。该数据集是带有时间戳的能耗记录，能够用于识别随时间变化的趋势和模式。表1展示了所收集数据集的一个小规模子集，包含在11 kV REC I1馈线站记录的部分 hourly 负荷数据。

采用多项式插值法，通过拟合周围数据点的高次多项式曲线来估计缺失值。同时，也使用了基于机器学习的插补技术，如K近邻（KNN）和随机森林回归，以重建缺失值。这些方法通过考虑历史模式和特征之间的相关性，实现更精确的插补。KNN插补方法通过在特征空间中取距离最近的k个邻近样本的平均值来填补缺失值，而随机森林回归则构建一组决策树集成模型，利用其他已知属性来预测缺失值。

数据标准化

原始功率负荷' 未归一化的数值会因供电能力的差异和当地电力需求的变化而表现出较大的量级波动。将未归一化的数值直接输入机器学习算法会导致数值不稳定和结果偏差。为解决这一问题，采用最小-最大缩放（Min-Max scaling）方法将所有数值重构到0至1之间的标准化区间内，在保持相对差异的同时确保各特征间的同质性。归一化的计算公式如下：

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其中 X_min 和 X_max 分别表示数据集中观测到的最小和最大功率负荷。该变换可确保所有特征对模型的贡献比例均衡，避免因量纲差异导致某一变量占据主导地位。

图4：原始与归一化负荷值的对比。归一化可突出潜在趋势，并减小量纲差异的影响。请点击此处查看该图的放大版本。

图4展示了将原始功率负载值转换为归一化范围的过程，突出了Min-Max缩放对数据分布的影响。由于各馈线站之间的功率使用存在差异，原始负载值的量级范围较广。若不进行归一化处理，机器学习模型将难以正确解释这些差异，导致特征重要性不平衡以及训练过程中收敛速度降低。通过采用Min-Max缩放方法，所有功率负载值被归一化至[0,1]区间内，在消除可能对模型产生不成比例影响的数值差异的同时，保留了原始的数据分布特征。该归一化方法提高了模型在不同馈线和时间段下合理泛化的能力，并增强了整体预测精度。此外，对于采用基于梯度学习方法的模型而言，该方法还能防止在优化算法中出现数值不稳定问题。该示意图提供了对比性的可视化表达，清晰呈现了归一化如何在均衡负载数值的同时，仍保留电力需求的关键模式特征。

异常值检测与剔除

由于需求突然激增、传感器故障或意外运行异常，电力负荷数据中可能出现离群值。如果未及时处理，此类异常值将扭曲统计分布，并对模型性能产生不利影响。为帮助保持数据完整性，采用了基于统计学和机器学习的方法来检测并剔除离群值。其中一种最常用的统计学离群值检测方法是四分位距（Interquartile Range, IQR）法，该方法根据数据的四分位数设定可接受的区间范围。IQR 的计算公式如下：

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其中 Q₁ 和 Q₃ 分别代表数据集的第一和第三四分位数。位于该范围之外的任何数据点均被视为异常值，并从数据集中剔除。

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IQR 方法能够有效剔除远离中心分布的极端偏离值。对于更复杂的离群值模式，则采用了基于机器学习的方法。其中使用了孤立森林（Isolation Forest）算法，这是一种基于家族的异常检测方法，用于发现并分离离群观测值。孤立森林通过构建多棵决策树，并评估某个数据点相对于其余数据集的孤立程度来识别离群值。由于异常值本身具有特殊性，通常只需较少的分割即可将其孤立，因此可据此进行检测。

此外，局部异常因子（Local Outlier Factor, LOF）技术也被用于识别异常值，其通过衡量某一点与其邻近点之间的密度差异来实现。LOF会根据每个数据点与其相邻数据点在局部密度上的不相似程度，为每条记录返回一个异常得分。当某数据点与周围邻近点表现出显著不相似时，LOF会赋予其更高的值，因而更适合作为异常点予以剔除。将IQR、孤立森林（Isolation Forest）与LOF技术相结合，可形成一种强有力的异常值检测策略，有助于保持数据质量和模型性能。在剔除异常值后，数据集被用于模型的训练与评估，从而获得更准确、更可靠的预测结果。

特征工程

特征工程是机器学习的基础，通过生成数据的有意义表示来提升模型性能。在本研究中，除了电力负荷数值外，还引入了温度、湿度和风速等其他外部气象条件。这些环境因素对电力消耗具有广泛影响，因为温度变化会调节供暖和制冷需求，而风速则会影响可再生能源并入电网的程度。通过引入此类特征，模型能够识别出能源消耗中更有效的潜在规律。此外，还提取了基于时间的特征，以捕捉用电行为中的周期性模式。由于人类活动规律、工作日安排以及工业活动的影响，每日和每周的用电模式呈现出显著的周期性。为了有效表达这些时间关系，对一天中的小时和一周中的日期进行了正弦变换处理：

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其中 t 表示以小时为单位的时间戳。该变换可确保周期性时间相关信息得以保留，从而使模型能够高效识别电力需求的周期性变化趋势。

补充图 S5（见补充文件 1）展示了用于基于小时的时间特征的正弦编码。该方法有助于模型识别一天中的不同时段，同时保留电力需求固有的周期性特征。简单的分类编码在捕捉不同时段之间的连续性（例如第23小时与第0小时）方面可能存在局限，而正弦编码则可实现平滑过渡，从而提高预测准确性。

拆分数据集

预处理完成后，数据集被系统地按80-10-10的比例划分为三个部分：训练集、验证集和测试集。训练集占数据的80%，用于训练机器学习模型。验证集占数据的10%，用于调整超参数，以防止模型对训练数据过拟合，并使其能够有效泛化到新样本。最后，测试集也占数据的10%，保留用于最终测试，以对模型性能提供无偏评估。'其预测能力。该划分方法使数据在全部三个数据集之间实现均衡分布，同时保持数据的时间顺序，从而不影响模型的训练与验证。在划分过程中保留时间顺序，可避免数据泄露，即未来的信息可能意外地污染训练过程，导致对模型性能的估计过于乐观。

补充图 S6 （参见 补充文件 1) 以可视化方式展示了数据集被划分为训练集、验证集和测试集的情况。通过这种结构化的方法，模型在大部分数据上进行训练，同时保留足够的数据用于公平的测试。在时间序列预测问题中，正确划分数据集可确保模型'训练过程中的模型表现反映了在实际应用中面对未知新观测数据时的真实情况。通过从特征工程到数据集合理划分的这些预处理步骤，我们确保了数据集的清洁性、良好结构以及具有代表性的有用特征。这一准备充分的数据集为训练机器学习模型奠定了良好基础，使模型能够准确预测电力负荷调度趋势，从而最终有助于实现高效的能源管理与电网稳定。

结果

模型训练、性能评估与误差分析

本文介绍了预测性天气负荷调度模型的建模、性能分析及误差分析过程。本研究旨在选择合适的特征并训练机器学习模型，评估其性能，并考察其局限性。

特征选择与模型构建

数据经过预处理后，用于训练天气负荷调度预测的预测模型。本研究中使用的关键特征包括Unix格式的时间戳、各馈线站记录的实际负荷（单位：MW），以及温度、湿度和风速等其他气象参数。这些特征经过精心选择，以使模型能够识别影响电力负荷需求的关键因素。在模型构建过程中，采用线性回归（LR）模型来分析电力负荷与所选特征之间的关系。该模型的数学表达式如下：

讨论

将机器学习引入全阶负荷分配（FWLD）已被证明在能量优化方面带来了显著进展，能够实现精确且动态的负荷分配。研究结果表明，机器学习模型（尤其是人工神经网络，ANNs）能够准确预测能量需求模式，从而最小化整个系统的低效率。通过利用历史数据和实时数据，这些模型提高了负荷调度决策的准确性，使电网运行更加稳定。与传统方法相比，基于机器学习的方法表现出更低的均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE），能够在电力分配中实现最小偏差，提升系统整体效率。在利用机器学习增强FWLD模型的同时，其他验证方法还可包括通过扰动法进行纯理论分析，或对分数阶微分方程采用半解析级数展开。此外，实验室规模的硬件在环（HIL）仿真和数字孪生技术可提供实验支持，用于在无需全规模电网部署的情况下实时测试FWLD行为，因为FWLD目前仍处于实验阶段。此类实验验证将补充数值模拟结果，并进一步支持分数阶调度模型的有效性。

基于机器学习的方法所产生的均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）低于传统方法^1,24。...

材料

本文使用的材料清单

姓名	公司	目录编号	评论
基于云的 Python 运行时 （Colab）	当前 （2024）	https://colab.research.google.com/drive/1TpfkodoyzoO2m4Aq7nIih1aT5_zUydZo#scrollTo=wE7HaH-V0VQM
Matplotlib	3.5	matplotlib.org
数字	1.22	numpy.org