研究文章

高效的后量子密码学量子算法

DOI：

10.3791/68934

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2025年11月14日

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1Department of Electronics, Acharya Prafulla Chandra College, Kolkata, India, 2MAKAUT, West Bengal, India, 3Department of Computer Science, Acharya Prafulla Chandra College, Kolkata, India, 4Narula Institute of Technology, West Bengal, India, 5Department of Computer Sciences, College of Computer and Information Sciences, Princess Nourah bint Abdulrahman University, Riyadh, Saudi Arabia, 6Department of Physics, College of Sciences, University of Bisha, Bisha, Saudi Arabia, 7Department of Computer Science and Artificial Intelligence, College of Computing and Information Technology, University of Bisha, Bisha, Saudi Arabia

本文内容

摘要

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

本方案描述了一种“基于编码的密码学”的实现方法，通过利用结合量子傅里叶变换的量子算术运算，构建高效的量子密码系统，并使用大型非对称密钥和明确的量子电路。

摘要

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

量子计算机的实现可能在诸多方面对社会和全球安全产生重大影响。目前已有大量研究聚焦于量子密码学——利用量子计算能力解决传统计算机无法处理的数学问题的机器。蓬勃发展的第六代“量子计算”技术虽可能破解并威胁当前大部分既有的安全防护体系和数字经济，但同时也可能提供新的密码学替代方案。因此，我们能够更有效地优化各种流程，提升效率，并实现更快速的量子力学模拟，从而推动药物和材料设计等领域的进步。本研究聚焦于通过将大数量子乘法与量子随机数生成器（QRNG）相结合，来实现一种后量子密码算法。采用基于编码的密码学方法，结合量子傅里叶变换（QFT），在显式量子电路中使用大型非对称密钥，构建安全的量子通信系统。在本研究中，“明文”（经典数据）借助量子算术，利用QRNG和量子乘法器进行加密。随后，生成的包含QRNG数据的量子信息将通过量子信道传输至接收端，由量子除法器完成解密。此外，针对各关键组件的IBM Qiskit仿真结果，以及与先前研究和算法的对比分析表明，在考虑大规模量子比特设备时，所提出的量子验证算法具有更强的鲁棒性和可靠性。该工作为该领域的进一步发展提供了有价值的指导方向，并为量子计算在后量子密码学中的未来应用奠定了基础。

引言

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量子计算基于量子比特（qubits），其与经典比特有根本性差异。经典比特只能处于0或1的状态，而量子比特可以同时表示0、1，或二者状态的任意线性叠加。这一特性使得量子系统能够并行而非串行地存储和处理大量数值。在测量时，量子比特会坍缩为一个确定的状态，从而给出计算结果。量子处理所固有的并行性可带来显著的速度提升，据估计，量子计算机的性能可能比经典系统高出数个数量级。此类进展对传统加密技术的安全性构成了严峻挑战，因而迫切需要发展在量子计算存在的情况下仍能保持安全的加密方法1。

传统上，经典密码学被视为创建安全编码的艺术，其确保机密性的核心过程是在密钥的帮助下对明文进行编码和解码。历史上，密码学技术主要应用于军事通信以及安全的外交信息交换。随着通信技术的发展以及合法用户之间安全信息共享需求的增长，密码学已成为学术界和工业界研究的核心焦点之一2。

通常，加密过程由三个关键要素定义：（1）加密密钥或密码，（2）密钥交换机制，以及（3）加密算法。加密的安全性在于，即使加密数据被截获，在没有正确密钥或算法的情况下，数据仍然无法被理解3。

在经典加密技术中，1977年提出的Rivest-Shamir-Adleman（RSA）是应用最广泛的公钥密码系统之一。在该算法发明之初，估计破解一个426位的RSA密钥需要数千万亿年。然而，到1994年，这类密钥已被攻破，主要原因在于计算能力的进步。随着处理能力的提升，密码学实践逐渐转向更长的密钥长度，目前2048位和4096位的RSA密钥已成为现代标准3。

在物联网（IoT）和云服务时代，数据安全与隐私是最重要的方面。为应对这些关切，本文提出了一种高效的加密算法3,4,5，该算法在保障物联网设备间通信安全及维护数据隐私方面发挥着关键作用。该实现基于ARM Cortex-M4平台，采用汇编代码实现了Ed25519参数下的Edwards曲线数字签名，包含密钥生成（keygen）、签名（sign）和验证（verify）操作。通过侧信道分析（例如功耗分析攻击）可尝试恢复秘密密钥。尽管已证实该实现涵盖了所有Ed25519基本运算，但其攻击面有限，本文展示了该算法如何使多种攻击失效。

近年来，全球范围内发生了大量网络攻击事件，通常表现为勒索软件或其他黑客技术。这些攻击造成的损失高达数亿，某些情况下甚至达到数百亿美元，影响了包括 Facebook、Adobe、Sony、Home Depot、摩根大通（JPMorgan）、Yahoo、Marriott 和 Target 在内的多家大型企业。

量子计算的出现代表了一种范式转变，暴露了经典加密系统中的新漏洞。与此同时，这一发展推动了公钥密码学的创新5，催生了抗量子密码原语6,7以及专门设计用于抵御量子威胁的协议6。

量子密码学的概念最早由 Stephen Wiesner 在20世纪70年代初提出，其奠基性思想随后由 Charles Bennett 和 Gilles Brassard 于1984年进一步拓展并形式化2。后量子密码学在过去的研究中主要通过三种不同途径展开：（1）量子密钥分发（QKD），（2）后量子密码学的理论研究，以及（3）用于后量子密码学的量子电路实现。

量子密钥分发 (QKD)
QKD 利用量子力学原理来确保通信安全。它使双方能够生成一个共享的、随机的密钥，该密钥仅由双方知晓，随后可用于加密和解密机密信息。在经典密码系统无法保证安全的场景下，QKD 能够提供安全保障。关于量子密钥分发的研究已十分广泛，始于 C.H. Bennett 和 G. Brassard 于 1984 年提出的算法2，随后发展出 BB923、SARG044、KMB09、S0955、S1366 等多种协议。

关于后量子密码学的理论研究
Kumar Sekhar Roy 和 Hemanta Kumar Kalita 对该主题进行了广泛的调研。目前主要围绕"基于格的密码学"8、"多变量密码学"9、"基于哈希的密码学"10以及"基于编码的密码学"11等方向开展了大量与后量子密码学相关的研究，这些研究展示了它们如何在理论上取代经典的 RSA 及椭圆曲线密码系统（ECC）等同类算法。在上述各个领域中，已有多种算法被提出。

Lily Chen 等人12研究了后量子密码学，展示了由于大规模量子计算机的出现，经典密码学将受到巨大影响。研究表明，基于非对称密钥的密码系统将不再安全；然而，基于对称密钥的密码系统通过使用较大的密钥长度，仍可在量子计算机时代继续使用。此外，Lidia Ruiz-Perez 与 Juan Carlos Garcia-Escartin 于 2017 年发表的论文"Quantum arithmetic with the Quantum Fourier Transform"13，为在量子计算中实现算术运算以加速处理开辟了新途径。这些研究推动人们在量子计算机上实现基于对称密钥的密码系统，并利用大数乘法14,15进行具体实施。

在量子密码学背景下，后量子密码技术在理论上能够提供强有力的安全保障，无论是在其基本原理方面，还是在应对经典及新兴安全挑战（如加密、数字签名、密钥交换和同态加密）方面的适用性均如此16,17,18,19,20,21,22。然而，将这些理论构想在量子计算平台上付诸实践，需要精细的电路设计，并仔细权衡各种取舍。这是为了应对量子硬件架构的异构性，同时保持部署灵活性，以符合快速演进的密码学标准。目前实现或实际部署的案例极少23,24。

本文介绍了一种实现方案，其中基于对称密钥的经典密码学模型被重新构想，并利用大数乘法的概念在量子计算机上得以实现，这代表了一种基于编码的密码学形式。与现有的后量子密码方法相比，量子计算机上的对称密钥密码学模型展现出更高的效率和可扩展性23,24。基于格和多变量的方案需要大量计算和较大的密钥；基于哈希的方法在重复使用时效率低下；而量子密钥分发（QKD）由于硬件需求而面临可扩展性问题。相比之下，所提出的模型避免了复杂的多项式运算，支持物联网和云计算应用，并且仅需标准量子平台即可运行，无需额外的专用硬件。

密钥将由量子随机数生成器（QRNG）产生，用于加密和解密。由于该密钥是一种量子态，能够抵御各类攻击以及后量子密码学攻击，因为一旦量子态被测量，其状态便会坍缩。

本文介绍了在量子计算机上实现对称密钥密码模型的一种实用方法。与基于格、多变量、哈希或量子密钥分发（QKD）的方法不同，该方案利用大数乘法和量子随机数生成（QRNG）进行密钥生成，兼具高效性以及抵御后量子攻击的鲁棒性。文章还讨论了在现有及新兴量子平台上部署时涉及的可扩展性考量、硬件资源限制以及实现中的权衡问题。

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方案

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本文采用该算法，利用量子算术和量子快速傅里叶变换13，通过将密文除以对称密钥来解密消息。本研究的主要目标是在 IBMQ Environment v1.7.4 上，通过生成随机密钥、采用大数乘法算法并执行大量除法运算，展示基于对称密钥的密码系统的量子实现。 图1 展示了基于对称密钥加密的端到端实现流程。假设对称密钥和密文从源设备（加密发生的位置）传输到目标设备（解密发生的位置） 通过 量子通道。所使用的设备和软件列于下文 材料表.

1. 量子随机数生成（QuRNG）（Quantum Random Number Generator）

用于生成大对称密钥的量子电路。该电路通过使用“Hadamard”、“CRZ”和“swap”门来生成一个大随机数，即对称密钥。假设明文长度为“x”，此电路生成的对称密钥长度为“2x”。随机数生成器的量子随机数生成（QRNG）电路如图2所示。

2. 扩增阶段

用于将明文与大对称密钥相乘以加密明文并生成密文的量子电路，如图3所示。该量子乘法器针对n位输入明文P和n位输入量子随机数生成器（QRNG）Q实现

  1. 第一轮循环
    在第一轮迭代中，0th P 作为 n 输入 CQFFT（受控量子傅里叶变换）门的控制输入，R 为 n 个目标输出。在 CQFFT 之后，Q 作为 CQFFT 的目标输入进入 CCZ（受控-受控Z）门。CCZ 门实现 P 与 Q 的乘法运算。接下来为 0th P 作为 n 输入 CQIFFT（受控量子逆傅里叶变换）门的控制输入。R 为 n 个目标输出，其结果为 P 与 Q 的乘积，即 R = P*Q。
  2. nth 迭代回路
    在第一轮迭代中，nth P 作为 n 输入 CQFFT（受控量子傅里叶变换）门的控制输入，R 为 n 个目标输出。在 CQFFT 之后，Q 作为 CQFFT 的目标输入进入 CCZ（受控-受控Z）门。CCZ 门实现 P 与 Q 的乘法运算。接下来的 nth P 作为 n 个输入的 CQIFFT（受控量子逆傅里叶变换）门的控制输入。R 为 n 个目标输出，将给出 P 与 Q 的乘积结果，即 R = P*Q。

3. Shuffler

用于混洗对称密钥的量子电路。该电路利用量子“交换”（swap）门在消息加密后对对称密钥进行混洗，然后在发送至目标设备之前完成操作 通过 一个量子通道。量子“交换”门在内部使用三个“CNOT”门。混洗电路如下所示 图4.

4. 重排器

用于重新排列对称密钥以恢复原始对称密钥的量子电路。该电路利用量子“交换”（swap）门，在通过量子信道接收到对称密钥后，将其在目标设备中重新排列。“交换”门内部由三个“受控非”（CNOT）门构成。重排器如图5所示。

5. 分裂

用于通过将密文除以重新排列的对称密钥来解密密文的除法量子电路如图6所示。

6. 加密与解密

乘法14,15和除法16电路用于实现加密和解密中的量子快速傅里叶变换（FFT）、逆FFT、受控FFT以及受控逆FFT13。在图7中展示了快速傅里叶变换（FFT）的量子门实现，该实现利用了“Hadamard”门和“CRz”门来完成量子FFT。

其中，cRz (k) = 量子门矩阵，e^(2πi/2^k) 相位偏移；在量子计算中至关重要，示意图。

在图8中展示了量子门实现的逆快速傅里叶变换（QIFFT）。QIFFT通过“hadamard”门和“cRz”门实现，即实现了量子逆快速傅里叶变换。受控量子快速傅里叶变换（CQFFT）的实现在图9中描述。受控逆快速傅里叶变换（CIFFT）的量子门实现如图10所示。所有步骤均由IBMQ环境v1.7.4执行。

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结果

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上述电路的所有组件（图1）均已使用 Python 代码（补充文件1-3）结合 IBM Qiskit 实现，并在本地及 IBMQ 模拟器上执行。然而，由于现有量子设备中缺乏可自由使用的量子比特，这些组件无法在实际量子设备上运行。以下展示了在本地和 IBMQ 模拟器中所有关键组件的直方图输出结果。

QuRNG
该电路在模拟器中多次执行，观察到了预期的随机输出结果。下图描述了QuRNZ电路中各量子比特在每次执行迭代过程中的输出变化情况。图11展示了QuRNG在不同测试迭代中的结果。

乘法运算
乘法电路在本地模拟器和 IBMQ 模拟器中均得以执行，两种情况下获得正确结果的概率均令人满意。图12...

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讨论

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

所提出的量子密码协议的成功依赖于三个关键阶段：量子随机数生成（QRNG）、基于量子快速傅里叶变换（QFFT 和 QIFFT）的量子算术运算，以及量子密钥的洗牌与重洗牌。QRNG 阶段通过生成真正随机的对称密钥，奠定了安全性的基础3。利用受控的 QFFT 和逆 QFFT 门执行的算术运算，确保了加密与解密的准确性，而洗牌电路则在密钥通过量子信道传输过程中保持其完整性13,19。

与传统的量子密钥分发（QKD）协议（如 BB84 和 E911,2）相比，所提出的方法将密钥生成、加密和解密集成于单一量子电路中，从而提高了计算效率，并减少了对混合系统的依赖5,6。此外，与依赖大规模多项式计算的经...

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致谢

$$\rightleftharpoonup{xx}$$ $$\longleftharp{xx}$$, $$\longrightharp{xx}$$,

本工作由沙特阿拉伯利雅得公主诺拉·宾特·阿卜杜勒拉赫曼大学研究人员支持项目（PNURSP2025R755）以及公主诺拉·宾特·阿卜杜勒拉赫曼大学资助。作者感谢比沙大学研究生院与科学研究处于快速通道研究支持计划下对本工作的支持。

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材料

本文使用的材料清单
姓名公司目录编号评论
GPU A100NVIDIA80G GPU
ibm_brisbaneIBMhttps://quantum.ibm.com/属于 IBM Quantum Eagle 系列的超导量子计算机。
python3.10Python 软件基金会https://www.python.org/downloads/release/python-3100/
QiskitIBMhttps://www.ibm.com/quantum/qiskit一个开源的软件开发工具包，用于在扩展量子电路、算子和基本操作层面与量子计算机协同工作。

参考文献

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IBM Qiskit

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