Name: rlc circuit state equations
Uploaded: 2024-09-26T13:17:19.000Z
Duration: 1 min 27 s
Channel: JoVE

La tecnica nel dominio della frequenza, comunemente utilizzata per analizzare e progettare sistemi di controllo del feedback, è adatta solo per sistemi lineari e invarianti nel tempo.
L'approccio nel dominio del tempo o nello spazio degli stati può gestire sistemi non lineari, variabili nel tempo e con più input e più output.
Nella rappresentazione dello spazio degli stati, un particolare sottoinsieme di variabili di sistema, identificate come variabili di stato, viene utilizzato per costruire equazioni differenziali simultanee del primo ordine per un sistema di ordine n-no, etichettate come equazioni di stato.
Considera un circuito RLC. Dato che la rete è del secondo ordine, è necessario impiegare due equazioni differenziali simultanee del primo ordine.
Le quantità differenziate nell'equazione della derivata per gli elementi di accumulo di energia - l'induttore e il condensatore - sono le variabili di stato.
Le leggi di tensione e corrente di Kirchhoff sono utilizzate per esprimere le variabili non di stato come combinazioni lineari delle variabili di stato e dell'input.
Questi risultati vengono sostituiti nelle equazioni delle derivate originali per ottenere le equazioni di stato.
L'equazione di uscita è la corrente che passa attraverso il resistore.
Il passaggio finale prevede la rappresentazione di queste equazioni in una forma di matrice vettoriale per acquisire la rappresentazione nello spazio degli stati della rete elettrica data.

rappresentazione dello spazio di stato

State Space Representation

La tecnica del dominio di frequenza, comunemente usata nell'analisi e nella progettazione di sistemi di controllo a feedback, è efficace per i sistemi lineari e tempo-invarianti. Tuttavia, è carente quando si ha a che fare con i sistemi non lineari, con quelli variabili nel tempo e con più ingressi e più uscite. L'approccio del dominio del tempo o dello spazio di stato affronta queste limitazioni grazie alle variabili di stato per costruire delle equazioni differenziali simultanee di primo ordine, note come equazioni di stato, per un sistema di ordine n.


Consideriamo un circuito RLC, un comune sistema di secondo ordine. Per analizzare questo circuito utilizzando l'approccio dello spazio di stato, sono necessarie due equazioni differenziali simultanee di primo ordine. Le variabili di stato in questo contesto sono derivate dalle quantità differenziate nelle equazioni derivate associate agli elementi di accumulo di energia, in particolare l'induttore e il condensatore.


Le leggi di Kirchhoff sulla tensione e sulla corrente sono usate per formulare le equazioni di stato. La legge di Kirchhoff sulla tensione (KVL) afferma che tutte le differenze di potenziale elettrico attorno ad un loop sono uguali a 0, mentre la legge di Kirchhoff sulla corrente (KCL) afferma che la somma delle correnti che entrano in una giunzione è uguale alla somma delle correnti che escono. Queste leggi consentono l'espressione di variabili non di stato come le combinazioni lineari di variabili di stato e gli input.


In un circuito RLC, le variabili di stato sono la tensione attraverso il condensatore VC e la corrente attraverso l'induttore iL. Le leggi di Kirchhoff esprimono la corrente del resistore e di altre variabili non di stato in termini di VC e iL. Queste espressioni vengono quindi sostituite nuovamente nelle equazioni differenziali originali del circuito.


Dopo aver derivato le equazioni di stato, il passaggio finale consiste nel rappresentare queste equazioni in forma di matrice vettoriale, ottenendo la rappresentazione dello spazio di stato. Per un circuito RLC, questo potrebbe comportare la definizione del vettore di stato x, del vettore di input u, del vettore di output y e delle matrici A, B, C e D in modo che:


<img alt="Equation1" src="/files/ftp_upload/16100/16100_PT%20EQUATION_1.svg" style="text-align: center; height: 16px;">

<img alt="Equation2" src="/files/ftp_upload/16100/16100_PT%20EQUATION_2.svg" style="text-align: center; height: 16px;">

Questa rappresentazione è essenziale per analizzare il comportamento dinamico del sistema e per progettare delle strategie di controllo appropriate.


In sintesi, l'approccio allo spazio di stato fornisce un framework robusto per la gestione dei sistemi complessi, estendendosi oltre le capacità delle tecniche del dominio della frequenza, adattandosi alla non linearità, alle variazioni temporali e ad input e output multipli.

Rappresentazione dello spazio di stato

La tecnica nel dominio della frequenza, comunemente utilizzata per l'analisi e la progettazione di sistemi di controllo del feedback, è adatta solo per ...

Education

JoVE Core

Electrical Engineering

Unit 1

Modeling in Time and Frequency Domain

KEY TERMS AND CONCEPTS

rlc circuit state equations

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems.

The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order system like an RLC circuit, two first-order equations are needed. The state variables come from the quantities tied to the circuit’s energy-storage elements, which are the inductor and the capacitor.

Kirchhoff’s voltage law, or KVL, says that the total potential difference around a loop is zero. Kirchhoff’s current law, or KCL, says that the current entering a junction equals the current leaving it. These rules let engineers write non-state variables as linear combinations of the state variables and the input.

In an RLC circuit, the state variables are the capacitor voltage, VC, and the inductor current, iL. KVL and KCL are used to express the resistor current and other non-state variables in terms of VC and iL. Those expressions are then substituted into the circuit’s original differential equations.

After the state equations are found, they are written in vector-matrix form. This gives the state-space representation, with a state vector x, an input vector u, an output vector y, and matrices A, B, C, and D. This form is useful for studying system behavior and for designing control strategies.

RLC Circuit State Equations

transfer function in control systems

Transfer Function from Input to Output

The transfer function describes how a linear time-invariant, or LTI, system maps an input to an output in the frequency domain. It gives a compact way to study system behavior without working only in the time domain. It also connects the differential equations of the system to a form that is easier to handle mathematically. For an nth-order LTI system, the behavior is written as a differential equation with constant coefficients. In that equation, r(t) is the input and c(t) is the output. The...

electrical systems

RLC Circuit Transfer Functions

RLC circuits use resistors, capacitors, and inductors to show how electrical signals change over time. In circuit analysis, these passive linear components are arranged so the link between an input and an output can be described with a transfer function. For this topic, the output is the voltage across the capacitor, compared with the input voltage. A series RLC circuit can be analyzed with Kirchhoff's Voltage Law, or KVL. KVL says that the sum of all voltages around a closed loop is zero.

mechanical systems

Transfer Functions in Mechanical Motion

Mechanical motion can be modeled with springs, masses, and viscous dampers. In these models, springs behave like inductors and masses act like capacitors in an electrical network. A viscous damper works like a resistor because it removes energy from the system. A force acts on the mass in the direction of motion. It is balanced by the spring force, the damping force, and the force from the mass’s acceleration. Newton’s second law is used to describe this balance, and the sum of the forces on...

electro-mechanical systems

DC Motor Modeling in Electromechanical Systems

DC motor modeling is a key part of electromechanical systems. These systems combine electrical parts and mechanical parts to produce a useful output. A DC motor is one common example because it turns electrical energy into mechanical motion. It is used in many places, from simple fans to complex robotic mechanisms. Inside the DC motor, the armature is a rotating circuit placed in a magnetic field. When current flows through the armature, it experiences a force from the magnetic field. That...

linear approximation in frequency domain

Linearizing Nonlinear RL Circuits

Linearizing nonlinear RL circuits helps turn a hard circuit problem into a simpler linear one. Linear systems follow superposition, which means the total response equals the sum of the responses to separate inputs. They also follow homogeneity, which means scaling the input scales the output by the same amount. Nonlinear systems do not automatically have those properties. For small changes around an operating point, though, a nonlinear system can often be treated as linear. This is done with a...

state space representation

RLC circuit state equations show how a circuit changes over time using state variables. This time-domain method is useful for linear, time-invariant systems, but it also helps when frequency-domain analysis is not enough. It is especially useful for nonlinear systems, time-varying systems, and multiple-input multiple-output systems. The state-space approach turns an nth-order system into a set of simultaneous first-order differential equations called state equations. For a common second-order...

transfer function to state space

Phase-Variable State Equations from Transfer Functions

Phase-variable state equations show how a transfer function can be rewritten for computer simulation. In state-space form, the system is described with state variables, which are the output and its first several derivatives. This makes it easier to model a physical system on a digital computer. The starting point is an nth-order linear differential equation with constant coefficients. Systems like an RLC circuit can be written this way. To build the state equations, the transfer function is...

state space to transfer function

Finding a Transfer Function from State Space

Finding a transfer function from state-space form is a key step in system analysis. It changes a time-domain model into a frequency-domain form. That makes it easier to study and design control systems. The process starts with the state-space equations. These include the state equation and the output equation. In these equations, x(t) is the state vector, u(t) is the input vector, y(t) is the output vector, and A, B, C, and D are the matrices that define the system dynamics. Next, the Laplace...

linear approximation in time domain

Linearizing Nonlinear State-Space Models

Linearizing nonlinear state-space models helps describe systems that change with time or operating conditions. State-space representation is often effective for this kind of modeling. It is especially useful for systems such as a simple pendulum or a translational mechanical system with nonlinear springs. A simple pendulum can be modeled by summing torques around the pivot point. In this case, the mass is evenly distributed along the pendulum, and the center of mass is located at half its...

key terms and concepts

Learn how an RLC circuit is written as state equations and converted into state-space form using KVL, KCL, and the key state variables VC and iL.

RLC Circuit State Equations | JoVE K12

JoVE Core Electrical Engineering offers easy-to-understand animated videos that cover fundamental concepts of electric circuits along with circuit analysis techniques. It incorporates first-order and second-order circuits using operational amplifiers and circuit transformation concepts. The inclusion of practical design examples and real-world applications through scientist-in-action videos adds significant educational value, making complex concepts accessible.

electrical engineering

RLC Circuit State Equations

Description

Transcript

Tags